Точка перегиба функции — точка, в которой функция меняет направление выпуклости.
Точка x 0 принадлежит R называется точкой перегиба функции f(x), если функция в ней непрерывна, её график имеет касательную (которая может быть параллельна оси Oy и при переходе через x 0 функция f(x) меняет направление выпуклости. В этом случае точка графика(x_0, f(x_0)) называется точкой перегиба графика функции. Некоторые источники опускают требование наличия касательной или требуют того, чтобы функция f была определена в окрестности x 0.
Необходимое условие точки перегиба функции
Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки x_{0} и точка x 0 является точкой перегиба функции f(x), то f^(x_0)=0 f^''(x0)=0.
Достаточные условия точки перегиба
Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности точки x_{0} и f^{''} меняет знак при переходе через x 0, то точкаx 0, является точкой перегиба функции f(x).
Если функция f(x)} f(x) в некоторой окрестности точки x_{0} k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечетно K меньше или равно 3, и f^(n)=0, при n=2,3... ,k-1, а f^{(k)}не равно 0, то точка x_{0} является точкой перегиба функции f(x).