Вопрос №1. Векторы. Операции над ними
Вектором называется направленный отрезок. Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением. Также вектор можно задать указав его начало и конец. Векторы обозначают следующим образом: a?AB, .
?Вектор начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Векторы в?а и называются коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
?Векторы а и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
Если вектор задан началом А(х1,у1)и концомВ(х2;у2), то координаты вектораАВможно определить такАВ
Длина вектора АВопределяется как расстояние между двумя точками:
(1)
Пусть задана ось lи некоторый векторАВ. Проекцией вектораАВна осьlназывается величина?В?Ана осиl. Проекция вектораАВна осьlравна длине вектораАВ, умноженной на косинус угла между векторомАВи осьюl, т.е.
При (2)
?Направляющими косинусами вектора а ?называются косинусы углов между вектором аа?и осями координат. Направляющие косинусы вектора можноопределить по формулам
Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.
Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .
Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .
Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.
Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается
,
разность векторов
,
?умножение вектора на число
.
Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
(4)
Если векторы и заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле
(5)
Свойства скалярного произведения векторов:
. (переместительное свойство)
.
.
.
. , если