Процентные риски

Математические модели финансовых рисков

Контрольные вопросы по предмету

0


Подпишитесь на бесплатную рассылку видео-курсов:

Текст видеолекции

Математические модели финансовых рисков

Лекция 3

Тема лекции 3: «Процентные риски»

Разделы лекции:

1. Виды процентных рисков.  Риск изменения процентных ставок.
2. Будущая стоимость инвестиций. Приведенная стоимость инвестиций.  
3. Методы расчета величины процентного риска для финансовых учреждений.

РАЗДЕЛ 1. ВИДЫ ПРОЦЕНТНЫХ РИСКОВ.  РИСК ИЗМЕНЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.

Процентные ставки – это наиболее часто используемые финансовые показатели. Многие люди в своей жизни берут кредиты и платят проценты по этим кредитам, помещают деньги в банк или другое финансовое учреждение и получат за это процентные платежи. Во время этих действий они заметят, что существует большое разнообразие процентных ставок по кредитам и вкладам. Эти ставки отличаются не только по величине, но и по методу их вычисления. Одни процентные ставки фиксированы в течение всего периода действия договора, другие же могут изменяться на оговоренных условиях в определенные промежутки времени. Существуют и такие, например, по ипотечным ссудам, которые могут меняться по желанию кредитора. Выясним, почему выплачиваются проценты по кредитам и депозитам? Ясно, что деньги приносят выгоду или обеспечивают благосостояние только косвенно, являясь средством обмена. Это означает, что они должны быть обменены на другие товары или услуги, чтобы принести прямую пользу. Следовательно, деньги сами по себе (банкноты, монеты, банковские счета) мало удовлетворяют жизненные потребности. Это происходит путем обмена денег на товары и услуги, такие, как продукты питания, одежда и жилье.
Таким образом, когда кто-либо инвестирует деньги, он отказывается от возможности обратить их в товары и услуги, которые приносят пользу напрямую. Поэтому ему придется довольствоваться более низким уровнем полезности, чем если бы деньги были употреблены для приобретения товаров и услуг вместо инвестирования. Эта потеря потенциальной полезности должна быть компенсирована — в этом состоит важнейшая функция процента.
Далее, кредитор сталкивается со значительной неопределенностью относительно стоимости денег, когда они к нему возвращаются (будущая стоимость этих денег неопределенна). Количественная мера этой неопределенности известна как риск. Кредиторы встречаются с различными видами рисков, и это может уменьшить их выгоду или благосостояние. Одной из функций процента является компенсация этой потери выгоды, существующей из-за рисков.  Если мы объединим риск потери потенциальной выгоды, инфляционный риск и риск невыполнения обязательств, мы получим группу факторов, которые делают обладание деньгами в настоящем более предпочтительным по сравнению с их обладанием в будущем. Люди предпочитают иметь деньги сейчас, чем довольствоваться обещаниями получить их позднее. О деньгах говорят, что они характеризуются положительным временным предпочтением.  Проценты компенсируют заимодавцу невозможность удовлетворить эти предпочтения в момент инвестирования средств. Заемщики готовы заплатить за использование средств, потому что это позволяет им иметь дополнительную выгоду раннего потребления в результате получения средств от инвестора. 

ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТНЫЙ РИСК?

Процентный риск – это риск для прибыли, возникающий из-за неблагоприятных колебаний процентной ставки.

Колебания процентной ставки приводят к повышению затрат на выплату процентов или снижению дохода от вложений и поступлений от предоставленных кредитов.

Например, фирма, идущая на поглощение другой фирмы, через некоторое время окажется в зоне процентного риска, если это приобретение финансируется за счет заемных средств, а не путем выпуска акций.  Банки и другие финансовые учреждения, которые обладают значительными средствами, приносящими процентный доход, обычно в большей мере подвержены процентному риску. Если фирма взяла значительные кредиты, то неэффективное управление процентными рисками может привести фирму на грань банкротства.

К КАКИМ ВИДАМ РИСКА ПРИВОДЯТ ИЗМЕНЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК?

Изменения процентных ставок влекут за собой несколько разновидностей риска:

1. Риск увеличения расходов по уплате процентов или снижения дохода от инвестиций до уровня ниже ожидаемого из-за колебаний общего уровня процентных ставок.

2. Риск, связанный с таким изменением процентных ставок после принятия решения о взятии кредита, которое не обеспечивает наиболее низких расходов по уплате процентов.

З. Риск принятия такого решения о предоставлении кредита или осуществлении вложений, которое в результате не приведет к получению наибольшего дохода из-за изменений процентных ставок, произошедших после принятия решения.

4. Риск того, что сумма расходов по уплате процентов по кредиту, взятому под фиксированный процент, окажется более высокой, чем в случае кредита под плавающий процент, или наоборот. 

Чем больше подвижность ставки (регулярность ее изменений, их характер и размеры), тем больше процентный риск.  Рассмотрение процентного риска зависит от того, в каком положении вы находитесь — заемщика или кредитора. Предположим, например, что у вас на банковском краткосрочном вкладе находится 500 тысяч рублей, причем процентная ставка меняется ежедневно, отражая конъюнктуру рынка. В вашем положении вкладчика (т.е. кредитора банка) процентный риск — это риск того, что ставка снизится. Ваша политика страхования должна заключаться в страховании от падения ниже некоего минимума процентной ставки, т.е. в обеспечении зашиты от убытков, вызванных минимальной процентной ставкой.  А теперь наоборот, представим, что вы заемщик. Предположим, например, что вы только что купили дом и взяли в банке ипотечный кредит с регулируемой ставкой. Предположим, что процентная ставка по закладной, которую вы выплачиваете, привязана к ставке процента по годичным казначейским векселям. В этом положении ваш процентный риск состоит в том, что ставка будет расти. Ваша политика страхования процентной ставки должна заключаться в страховании от превышения некоего потолка процентной ставки, т.е. убытков, связанных с максимальной процентной ставкой.  Риск для заемщика имеет двойственную природу. Получая займ по фиксированной ставке, заемщик подвергается риску из-за падения ставок, а в случае займа по свободно колеблющейся ставке заемщик  подвергается риску из-за их увеличения. Риск можно снизить, если предугадать, в каком направлении станут изменяться процентные ставки в течение срока займа, но это сделать достаточно сложно. Риск для кредитора — это зеркальное отображение риска для заемщика. Чтобы получить максимальную прибыль, банк должен предоставлять кредиты по фиксированной ставке, когда ожидается падение процентных ставок, и по плавающей ставке, когда ожидается их повышение.  Инвестор может помещать средства на краткосрочные депозиты или депозиты с колеблющейся процентной ставкой и получать процентный доход. Инвестор должен предпочесть фиксированную процентную ставку, когда предполагается падение процентных ставок, и колеблющуюся, когда ожидается их рост. Изменение процентных ставок в зависимости от срока займа можно выразить с помощью кривой процентного дохода. Нормальной кривой процентного дохода считается восходящая кривая. Она означает, что процентные ставки для долгосрочных займов обычно выше, чем для краткосрочных, и тем самым компенсируют кредиторам связанность их средств на более длительный срок и более высокий кредитный риск в случае долгосрочных займов. 

КАКИЕ ВИДЫ ПРОЦЕНТНЫХ РИСКОВ ВОЗНИКАЮТ У ФИНАНСОВЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ?

Точка зрения банка на процентный риск отличается от точки зрения его корпоративных клиентов. Процентный риск для финансовых учреждений бывает базовым и риском временного разрыва. 

БАЗОВЫЙ РИСК связан с изменениями в структуре процентных ставок. Базовый риск возникает, когда средства берутся по одной процентной ставке, а ссужаются или инвестируются по другой. 

РИСК ВРЕМЕННОГО РАЗРЫВА возникает, когда займы получают или предоставляют по одной и той же базовой ставке, но с некоторым временным разрывом в датах их пересмотра по взятым и предоставленным кредитам. Риск возникает в связи с выбором времени пересмотра процентных ставок, поскольку они могут измениться в промежутке между моментами пересмотра. 

Существует множество процентных ставок. В любое время на финансовых рынках существует ряд процентных ставок, поэтому полезно разделить факторы, определяющие эти ставки, на две группы: те, которые определяют общий уровень процентных ставок, и те, которые определяют различие процентных ставок. 

КАКИЕ ФАКТОРЫ ВЛИЯЮТ НА УРОВЕНЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК?

Отметим следующие факторы, влияющие на уровень процентных ставок: 

- политика правительства; 

- денежная масса; 

- ожидания относительно будущей инфляции. 

КАКИЕ ФАКТОРЫ ВЛИЯЮТ НА РАЗЛИЧИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК?

Отметим следующие факторы, влияющие на различие процентных ставок: 

-время до погашения финансовых обязательств;

- риск невыполнения обязательств;

-ликвидность финансовых обязательств;

-налогообложение; 

- другие различные факторы, специфические для конкретных финансовых обязательств, например, предоставлено ли обеспечение активами, включены ли права выбора в договор.
Стоимость любого финансового актива: акции, облигации, физического актива (недвижимости, оборудования) и др. определяется как текущее значение потока платежей, связанных с этим активом. Изменение уровня процентных ставок на финансовом рынке влечет колебания в цене обращающихся облигаций, причем повышение процентных ставок является причиной понижения цены и убытков держателя облигаций.

ЧТО ТАКОЕ РИСК ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК?

Риск при инвестировании, связанный с изменением процентных ставок, называется риском процентных ставок. 

РАЗДЕЛ 2. БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИЙ. ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИЙ.
 
КАК РАССЧИТАТЬ БУДУЩУЮ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИЙ?
 
Различные схемы начисления процентов мы подробно рассмотрели на лекции 1 «Математические основы определения цен финансовых активов». Используя схемы начисления сложных и непрерывных процентов, рассчитаем будущую стоимость денежного потока.

СЛУЧАЙ 1. Предположим, что денежная сумма Р инвестирована на Т лет под процентную ставку r(m) при начислении процентов m раз в год. Тогда будущая стоимость FV (future value) инвестиции может быть найдена следующим образом: 

FV = P•(1+r(m)/m)T•m. (1)

СЛУЧАЙ 2. Если же денежная сумма Р инвестирована на Т лет под годовую процентную ставку R при непрерывном начислении процентов, то будущая стоимость FV (future value) инвестиции определяется равенством: 

FV= P•exp{R•T}. (2) 

ПРИ КАКИХ УСЛОВИЯХ ВОЗРАСТАЕТ БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИЙ?

Очевидно, что будущая стоимость инвестиции возрастает: 

а) при увеличении срока инвестирования,

б) при возрастании годовой процентной ставки, 

в) при росте частоты начисления процентов.

Для иллюстрации вышесказанного приведем следующий пример.

ПРИМЕР 1. Денежная сумма в 1 миллион рублей инвестирована на 6 лет под годовую процентную ставку 6,4%. Определить будущую стоимость инвестиции, если проценты начисляются: а) один раз в год; б) дважды в год; в) ежеквартально; г) непрерывно.

РЕШЕНИЕ.

а) FV1= 1000000•(1 + 0,064)6 ≈ 1450941 руб., 
б) FV2= 1000000•(1 + 0,064/2)6•2 =1000000•(1 + 0,032)12 ≈ 1459340 руб., 
в) FV3= 1000000•(1 + 0,064/4)6•4 =1000000•(1 + 0,016)24 ≈ 1463689 руб., 
г) FV4= 1000000•exp{6•0,064} =1000000•exp{0,384} ≈ 1468145 руб.

КАКИЕ ГОДОВЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ НАЗЫВАЮТСЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ?

Годовые процентные ставки называют эквивалентными, если при инвестировании любой суммы Р под эти ставки на один и тот же срок T, совпадают будущие стоимости инвестиции.

Таким образом, из формулы (1) следует, что годовые процентные ставки  r(m) и r(n) при начислении процентов m раз  и n раз в год, соответственно,  по определению, эквивалентны, если  выполнено равенство:
P•(1+r(m)/m)T•m =P•(1+r(n)/n)T•n.
Отсюда находим, что годовые процентные ставки r(m) и r(n) при начислении процентов m раз  и n раз в год, соответственно, являются эквивалентными тогда и только тогда, когда эти ставки связаны следующим равенством:
r(m) =m•((1+r(n)/n)n/m – 1). (3)
Из формул (1) и (2) следует, что годовая процентная ставка R при непрерывном начислении процентов эквивалентна годовой процентной ставке r(n) при начислении процентов n раз в год, если, по определению, выполнено равенство: 
P•(1+r(n)/n)T•n = P•exp{R•T}.

Отсюда получим

(1+r(n)/n)n =exp{R}.

Таким образом, годовая процентная ставка R при непрерывном начислении процентов эквивалентна годовой процентной ставке r(n) при начислении процентов n раз в год, тогда и только тогда, когда выполнены равенства:

r(n)=n•(exp{R/n} – 1); 

R=n•ln(1+r(n)/n). (4)

ПРИМЕР 2. Банк предлагает по депозитам годовую процентную ставку в 8% при начислении процентов один раз в год. Какую годовую процентную ставку можно требовать при начислении процентов: а) дважды в год; б) ежеквартально; в) непрерывно?

РЕШЕНИЕ.

По формуле (3) имеем:

а) при m=2, n=1, r(1)=8% годовых, следовательно,
 
r(2)=2•((1+r(1)/1)1/2 – 1)= 2•((1+0,08)1/2 – 1)≈0,0785 .

То есть при начислении процентов дважды в год эквивалентная процентная ставка приближенно равна 7,85% годовых.

б) при m=4, n=1, r(1)=8% годовых, следовательно,

 r(4)=4•((1+r(1)/1)1/4 – 1)=4•((1+0,08)1/4 – 1)≈0,0777.

То есть при начислении процентов дважды в год эквивалентная процентная ставка приближенно равна 7,77% годовых.

По формуле (4) находим

в) при n=1, r(1)=8% годовых, следовательно,

R=1•ln(1+r(1)/1)=ln(1+ 0,08)≈0,0770.
 
То есть при непрерывном начислении процентов эквивалентная процентная ставка приближенно равна 7,70% годовых.

КАК РАССЧИТАТЬ БУДУЩУЮ СТОИМОСТЬ  ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА?

Предположим теперь, что инвестору обещают через t1, t2, …, tn  лет денежные суммы Pt1, Pt2, … , Ptn,  соответственно.

Если инвестор предполагает инвестировать все поступающие денежные суммы под одну и ту же годовую процентную ставку, то через Т лет будущая стоимость денежного потока будет равна следующим величинам.

1. При начислении процентов m раз в год под  годовую процентную ставку r(m) через T лет  получим сумму:

        n
FV=∑   Pti•(1+r(m)/m)(T-ti)•m      .                            (5)     
       i=1
2. При непрерывном начислении процентов под годовую процентную ставку R через T лет получим сумму:

        n
FV=∑   Pti•exp{R•(T-ti)}.   (6)
       i=1

ПРИМЕР 3.  Инвестору обещан следующий денежный поток:
Срок, лет    0,5    1,0    2,0
Платеж, долл.    500    1000    2000

Какова будущая стоимость денежного потока через 3 года, если инвестор предполагает инвестировать поступающие денежные суммы под 7% годовых при начислении процентов: а) дважды в год; б) непрерывно?

РЕШЕНИЕ.

Случай а).  По формуле (5) для данной задачи находим:

FV1=500•(1+0,07/2)(3 – 0,5)•2  +1000•(1+0,07/2)(3 – 1,0)•2  + 2000•(1+0,07/2)(3 – 2,0)•2  =
= 500•(1,035)5  +1000•(1,035)4  + 2000•(1,035)2  =500•(1,035)5  +1000•(1,035)4  + 2000•(1,035)2   ≈     593,844+1147,523+2142,45≈3883,82 долл.


Случай б).  По формуле (6) вычисляем:

FV2= 500•exp{0,07•(3 – 0,5)}+ 1000•exp{0,07•(3 – 1,0)}+ 2000•exp{0,07•(3 – 2,0)}= =500•exp{0,175}+ 1000•exp{0,14}+ 2000•exp{0,07}≈3890,91 долл.


КАК РАССЧИТАТЬ БУДУЩУЮ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОЙ РЕНТЫ?

Напомним, что если одну и ту же денежную сумму выплачивают (или получают) периодически в течение ряда лет, то соответствующий денежный поток называют рентой (annuity, другое название – аннуитет).   Промежуток времени между двумя соседними платежами – это рентный период. Ренту называют обыкновенной (ordinary annuity), если первый рентный платеж приходится в точности на конец одного рентного периода. 

Рассмотрим обыкновенную ренту размером А сроком на Т лет, рентный период которой составляет i/m  года. По данной ренте будут произведены T•m платежей одной и той же величины А, причем i-й платеж (i = 1, 2,…, T•m) должен быть произведен через i/m  лет. 
 
Если предположить, что все рентные платежи будут инвестироваться под одну и ту же годовую процентную ставку r(m)  при начислении процентов m  раз в год, то будущая стоимость обыкновенной ренты через Т лет может быть определена следующим образом с учетом формулы (5):

       T•m
FV=∑   A•(1+r(m)/m)(T-i/m)•m      .      
       i=1

Таким образом,

       T•m
FV=∑   A•(1+r(m)/m)(T•m – i)    .  (7)     
       i=1

Напомним, что сумма первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом a вычисляется по следующей формуле:

a+a•q+a•q2+ … + a•qn-1 =a•(1 – qn)/(1 – q), (8)

Поэтому формулу (7) можно записать в следующем  виде, обозначив величину (1+r(m)/m) через q: (1+r(m)/m)=q, и вычислить FV, используя формулу (8):


       T•m
FV=∑   A•(1+r(m)/m)(T•m – i)   = A•q(T•m – 1)  + A•q(T•m – 2)  + … + A =
     i=1

= A•(1 – qT•m)/(1 – q)= A•m•((1+r(m)/m)T•m – 1)/r(m).        (9)
 
ПРИМЕР 4.

Менеджер покупает облигацию, по которой выплачиваются проценты в размере 40 долл. каждые полгода в течение 10 лет и номинальная стоимость в 1000 долл. в конце десятого года. Определим будущую стоимость инвестиции через 10 лет, если все платежи реинвестируются под 6,7%, а первый  процентный платеж производится через 6 месяцев.

РЕШЕНИЕ.
Денежный поток, определяемый облигацией, представляет собой обыкновенную ренту, в которой: А = 40 долл., m = 2, r(m)=6,7%, Т = 10 лет, и выплата 1000 долл.  в конце десятого года.
Отсюда по формуле (9) находим:
  FV= A•m•((1+r(m)/m)T•m – 1)/r(m)=40•2((1+0,067/2)10•2 – 1)/0,067 + 1000=80•((1,0335)20 – 1)/0,067 + 1000 ≈1113,91+1000=2113,91 долл.           
ЧТО ТАКОЕ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА?
Денежную сумму, которую необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенное время получить данную будущую стоимость, называют приведенной стоимостью. 
КАК РАССЧИТАТЬ ПРИВЕДЕННУЮ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИЙ?
Имеет место следующее равенство: 
PV=FV/(1+r(m)/m)T•m      ,                 (10) 
где использованы следующие обозначения:
PV – приведенная стоимость инвестиции; 
FV – будущая стоимость; 
T – срок  инвестиции; 
r(m) – годовая процентная  ставка при начислении процентов m раз в год.

ЧТО ТАКОЕ СТАВКА ДИСКОНТИРОВАНИЯ?

Процентную ставку r(m), используемую для определения приведенной стоимости PV инвестиции через будущую стоимость FV этой инвестиции, называют ставкой дисконтирования (discount rate). 

КАКОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ СВЯЗАНА ПРИВЕДЕННАЯ  СТОИМОСТЬ СО СТАВКОЙ ДИСКОНТИРОВАНИЯ И СРОКОМ ИНВЕСТИЦИИ?

Из равенства (10) следует, что при прочих равных условиях: 
1) чем больше ставка дисконтирования, тем меньше приведенная стоимость, и наоборот; 
2) чем меньше срок инвестиции, тем больше приведенная стоимость, и наоборот. 
КАК РАССЧИТАТЬ ПРИВЕДЕННУЮ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИИ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ НАЧИСЛЕНИИ ПРОЦЕНТОВ?

Если  ставка дисконтирования определяется при непрерывном начислении процентов годовой процентной ставкой R, то формула (10) принимает вид:  

PV = FV•exp{–R•T}.    (11)  

ПРИМЕР 5.

Менеджер пенсионного фонда должен через 6 лет выплатить 10 млн. рублей. В данный момент времени менеджер имеет возможность инвестировать любую сумму под 7,5% при начислении процентов дважды в год. Какую сумму должен сейчас инвестировать менеджер пенсионного фонда, чтобы выполнить свое обязательство?

РЕШЕНИЕ. 

Приведенная стоимость 10 млн. руб. может быть найдена по формуле (10): 

PV=FV/(1+r(m)/m)T•m = 10000000/(1+0,075/2)6•2  = 10000000/(1,0375)12≈6428989,78 руб.    

Следовательно, менеджер должен инвестировать  сумму 6428989,78 руб.,  чтобы через 6 лет получить 10 млн. руб.

КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ПОТОКА ДЕНЕЖНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ?

Приведенная стоимость потока денежных платежей определяется в виде  суммы приведенных стоимостей платежей, образующих этот денежный поток. 

ПРИМЕР 6. Финансовый директор компании знает, что ему предстоит произвести следующие платежи:

Срок, лет    1,0    2,0    3,0
Платежи, долл.    200000    300000    400000
Какую денежную сумму ему необходимо инвестировать сегодня, чтобы обеспечить выполнение обязательств, если процентная ставка равна 6% годовых при начислении процентов дважды в год?
РЕШЕНИЕ.

Чтобы решить данную задачу  достаточно определить приведенную стоимость данного потока платежей в виде  суммы приведенных стоимостей платежей, образующих этот денежный поток, используя для каждого платежа формулу (10). Мы имеем: 

PV = 200000/(1+0,06/2)2•1 +300000/(1+0,06/2)2•2 + 400000/(1+0,06/2)2•3 =

= 200000/(1,03)2 +300000/(1,03)4 + 400000/(1,03)6 ≈188519,17+266546,11+334993,69≈790059 долл.

КАК РАССЧИТАТЬ ПРИВЕДЕННУЮ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОЙ РЕНТЫ?

Если денежный поток представляет собой обыкновенную ренту, по которой m раз в год в течение Т лет выплачивается одна и та же денежная сумма А, то приведенная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом:
PV=A/(1+r(m)/m) +A/(1+r(m)/m)2  + … + A/(1+r(m)/m)T•m  .
Используя формулу (8) для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии, получим следующую формулу для вычисления приведенной стоимости обыкновенной ренты.
PV=(A•m/r(m)•(1 – 1/(1+r(m)/m)T•m).            
КАКУЮ РЕНТУ НАЗЫВАЮТ БЕССРОЧНОЙ?

Обыкновенную ренту называют бессрочной  (perpetual annuity), если поток рентных платежей не ограничен по времени.

КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ ПРИВЕДЕННАЯ  СТОИМОСТЬ БЕССРОЧНОЙ РЕНТЫ?
Приведенная стоимость бессрочной ренты, по которой m раз в год выплачивается сумма А, может быть найдена следующим образом: 
PV=A•m/r(m).            
ЧТО ОЗНАЧАЕТ ТЕРМИН ВНУТРЕННЯЯ ДОХОДНОСТЬ ФИНАНСОВОГО ИНСТРУМЕНТА?
 Внутренней доходностью (internal rate of return (IRR)) финансового инструмента называют процентную ставку, при которой приведенная стоимость PV потока платежей по данному финансовому инструменту совпадает с его рыночной ценой.  Графически зависимость рыночной цены от внутренней доходности финансового инструмента представлена на рисунке 1.
 
Рисунок 1. Зависимость цены от внутренней доходности.

РАЗДЕЛ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВЕЛИЧИНЫ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ.
 
Напомним, что под процентным риском (interest rate risk) в банковской деятельности понимается возможность потерь по позициям по долговым ценным бумагам и другим,  связанным с процентной ставкой инструментам, относящимся к торговому портфелю банка. Расчет величины рыночного риска и размера резервируемого против него капитала должен осуществляться на постоянной основе по окончании каждого дня торгов. При этом ожидается, что сами банки будут придерживаться строгих процедур управления риском, следя за тем, чтобы уровень риска в течение дня не превышал разумных пределов. 

Минимальное требование к капиталу выражается в виде двух отдельно рассчитанных слагаемых, одно из которых относится к специфическому риску каждой отдельной позиции, а другое – к общему процентному риску всего портфеля (именуемому «общим рыночным риском»).

КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ СПЕЦИФИЧЕСКИЙ РИСК?
Специфический риск рассчитывается аналогично методике расчета кредитного риска путем умножения рыночной стоимости инструментов на коэффициенты риска, которые подразделяются на следующие категории: 

I категория. Государственные ценные бумаги (government):  коэффициент риска равен 0%  для всех видов государственных облигаций. 

II категория. Ценные бумаги, отвечающие определенным требованиям (qualifying securities):
- ценные бумаги, выпущенные различными государственными учреждениями (кроме центрального правительства) и международными банками развития, а также
- иные ценные бумаги, которым присвоен кредитный рейтинг  «инвестиционного качества» (ВВВ/Baa и выше) не менее двумя рейтинговыми агентствами, аккредитованными национальным органом надзора;
- допускается также вариант, при котором ценным бумагам присвоен кредитный   рейтинг «инвестиционного качества» одним рейтинговым агентством и одновременно рейтинг не ниже «инвестиционного качества»  любым другим рейтинговым агентством, аккредитованным органом надзора;
либо
-  не имеющие кредитного рейтинга, но обладающие, по мнению банка, сравнимым инвестиционным качеством, при этом их эмитент должен быть включенным в листинг какой-либо известной фондовой биржи, этот вариант предполагает получение специального разрешения органа надзора:

Ценные бумаги второй категории имеют следующие коэффициенты риска.

0,25%  - с оставшимся сроком до погашения не более 6 месяцев;

1,00%  - с оставшимся сроком до погашения от 6 месяцев до 2 лет;

1,60%  - с оставшимся сроком до погашения свыше 2 лет. 

III категория. Прочие ценные бумаги.  

Коэффициент риска = 8% для прочих ценных бумаг.

КАКИМИ МЕТОДАМИ МОЖНО РАССЧИТАТЬ РАЗМЕР КАПИТАЛА, РЕЗЕРВИРУЕМОГО  ПРОТИВ ОБЩЕГО ПРОЦЕНТНОГО РИСКА?

Размер капитала, резервируемого  против общего процентного риска, может быть рассчитан одним из двух методов:

- методом на основе срока до погашения; или

- методом на основе дюрации. 

В ЧЕМ СОСТОИТ МЕТОД НА ОСНОВЕ СРОКА ДО ПОГАШЕНИЯ?

При использовании метода на основе срока до погашения (maturity method)‚длинные и  короткие позиции по долговым ценным бумагам и другим инструментам, чувствительным к процентному риску, включая производные инструменты, располагаются в виде «лестницы» сроков до погашения (maturity ladder), состоящей из 13 или 15 заданных временных интервалов (см.:  таблица 1). Инструменты с фиксированной ставкой распределяются в соответствии со сроком, остающимся до погашения, а инструменты с плавающей ставкой в зависимости от срока, оставшегося до даты следующей переоценки. Облигации с нулевым купоном и облигации с большим дисконтом (deep discount bonds) располагаются по временным интервалам, приведенным во второй колонке таблицы.
Таблица 1. Метод на основе срока до погашения: временные интервалы и коэффициенты риска.

 
ЗАМЕЧАНИЕ.

К облигациям  с большим дисконтом (deep discount bonds) относят ценные бумаги с купонами, которые на вторичном рынке продаются с дисконтом свыше 20% (например, из-за повышения процентных ставок по сравнению со временем их эмиссии). В данном методе к ним относятся облигации с купоном менее 3%.

1. Первым шагом расчета является взвешивание всех позиций в каждом временном интервале путем умножения на коэффициент, который отражает предполагаемое изменение цен, вызванное предполагаемыми колебаниями процентных ставок (приведены в третьей и четвертой колонках таблицы 1 соответственно).

2. Следующий шаг заключается во взаимной компенсации взвешенных длинных и коротких позиций в каждом временном интервале путем их суммирования с учетом знака. В результате определяются закрытая (matched) и открытая (net/open) короткая или длинная позиции в каждом временном интервале.

ЗАМЕЧАНИЕ.  Сумма открытых взвешенных коротких позиций компенсируется суммой открытых взвешенных длинных позиции. Величина, на которую короткие и длинные позиции полностью компенсируют друг друга, составит закрытую взвешенную позицию. Длинное или короткое сальдо составит открытую взвешенную позицию.

Однако, учитывая, что каждый временной интервал включает различные инструменты с разными сроками платежа (внутри данного интервала), к закрытой позиции (к наименьшей по абсолютной величине из компенсируемых позиций) -_ будь она длинной или короткой - применяется требование к капиталу в размере 10% (vertical disallowance), что отражает базисный риск и риск разрывов срочной структуры.

ПРИМЕР. Так, например, если сумма взвешенных длинных позиций в конкретном временном интервале равна 100 млн. долл., а сумма взвешенных коротких – 90 млн. долл., то так называемое «вертикальное отклонение»  по данному интервалу равно 10% от 90 млн. долл., т. е. 9 млн. долл.

В результате произведенных расчетов определяются величины открытых взвешенных позиций для каждого временного интервала (в приведенном выше примере это длинная позиция размером в 10 млн. долл.). В дополнение к этому банкам разрешается провести еще два раунда «горизонтальных компенсаций»: сначала по чистым открытым позициям внутри каждой из трех зон, по которым группируются временные интервалы (от нуля до 1 года, от 1 года до 4 лет и от 4 лет и выше);  соответствующие зоны для облигаций с купоном менее 3%: 0 до 1 года, от 1 до  3,6 лет и от 3,6 лет и выше.  А затем по чистым открытым позициям между тремя этими зонами. К компенсации применяется шкала требований к капиталу против так называемых «горизонтальных отклонений» (horizontal disallowances), выражаемая в виде долей закрытых позиций, как показано в таблице 2. Взвешенные длинные и короткие позиции внутри каждой из трех зон могут быть компенсированы, при этом к величине закрытой позиции применяется соответствующий коэффициент отклонения, являющийся частью требования к капиталу. Остаточная чистая позиция в каждой зоне может быть компенсирована за счет противоположных позиций в других зонах при условии применения второй группы коэффициентов отклонения. 

КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ РАЗМЕР КАПИТАЛА, РЕЗЕРВИРУЕМОГО ПРОТИВ ОБЩЕГО ПРОЦЕНТНОГО РИСКА В МЕТОДЕ НА ОСНОВЕ СРОКА ДО ПОГАШЕНИЯ?

Размер капитала, резервируемого против общего процентного риска, рассчитывается путем суммирования: 

1) «вертикальных отклонений» (10% суммы закрытых взвешенных позиций по всем временным интервалам); 

2) «горизонтальных отклонений» внутри зон (40% величины закрытой взвешенной позиции зоны 1 и по 30% величины закрытых взвешенных позиций зон 2 и 3); 

3) «горизонтальных отклонений» между зонами (по 40% величины закрытых взвешенных позиций между зонами 1 и 2, 2 и 3 соответственно и 100% величины закрытой взвешенной позиции между зонами 1 и 3); 

4) оставшейся открытой взвешенной позиции (в размере 100%).

Таблица 2. Горизонтальные отклонения.
 
В ЧЕМ СОСТОИТ МЕТОД НА ОСНОВЕ ДЮРАЦИИ?
Банки могут с разрешения надзорного органа применять более точный способ оценки общего процентного риска - метод на основе дюрации (duration method), предполагающий расчет ценовой чувствительности для каждой отдельной позиции. Банк, выбравший метод на основе дюрации, должен применять его на постоянной основе (за исключением случаев, когда надзорный орган разрешает использовать другую методику). 
КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ РАЗМЕР КАПИТАЛА, РЕЗЕРВИРУЕМОГО ПРОТИВ ОБЩЕГО ПРОЦЕНТНОГО РИСКА В МЕТОДЕ НА ОСНОВЕ ДЮРАЦИИ?
Техника расчета общего процентного риска по данному метода во многом аналогична методу на основе срока до платежа и состоит в следующем.
1. Вначале оценивается ценовая чувствительность каждого инструмента к изменению процентной ставки путем умножения стоимости данного инструмента на предварительно рассчитанную дюрацию  и на предполагаемое изменение доходности.  Предполагаемое изменение доходности (от 0,6%  до 1,0%)  зависит от оставшегося срока до платежа или погашения по каждому инструменту (таблица 3);
Таблица 3. Метод на основе дюрации: временные интервалы и предполагаемые колебания доходности.
 
2. Полученные оценки чувствительности (аналогичные «взвешенным позициям» в предыдущем методе) располагаются в виде «лестницы дюрации», насчитывающей  15 временных интервалов из таблицы 2 для метода на основе срока до платежа;

3. Закрытая взвешенная позиция в каждом временном интервале умножается на 5% для учета базисного риска (расчет «вертикального отклонения»); 

4. Закрытые взвешенные позиции внутри каждой зоны и между зонами умножаются на коэффициенты, установленные в методе на основе  срока до платежа (расчет «горизонтальных отклонений»  см.: таблица 2); 
5. Определяется совокупная открытая позиция, размер капитала для которой составляет 100%.

Процентный риск рассчитывается для всех производных и забалансовых инструментов в торговом портфеле, чувствительных к изменению процентных ставок, таких как соглашения о будущей процентной ставке (FRA), прочие форвардные контракты, фьючерсы на облигации, валютные свопы и валютные форварды. 

Производные инструменты следует представить в виде позиций по соответствующим базисным активам, затем к ним применяются требования к капиталу для покрытия общего и специфического процентных рисков. 

Для расчета рыночного риска процентные фьючерсы и форварды представляются как сочетание длинной и короткой позиций в условных государственных ценных бумагах.  Срок платежа по фьючерсам или по FRA равен периоду до исполнения контракта плюс (там, где это применимо) срок действия базисного инструмента.

ПРИМЕР. Например, длинная позиция по июньскому трехмесячному процентному фьючерсу, открытая в апреле, представляется как длинная позиция по государственным ценным бумагам со сроком погашения пять месяцев и короткая позиция по этим же бумагам со сроком погашения два месяца. 

Процентные и валютные свопы рассматриваются как две условные позиции по государственным ценным бумагам с соответствующим сроком до платежа.

ПРИМЕР. Например, процентный своп, по которому банк получает проценты по плавающей ставке и платит по фиксированной, будет рассматриваться как сочетание:
- длинной позиции  по инструменту с плавающей ставкой и со сроком до платежа, эквивалентным остающемуся сроку до следующей фиксации процента, и
- короткой позиции с фиксированной процентной ставкой и сроком платежа, равным оставшемуся сроку действия свопа. 

Банки могут полностью исключать из расчета процентного риска (как общего, так и специфического) длинные и короткие позиции (как реальные, так и условные) по идентичным инструментам, имеющим одного и того же эмитента, одинаковый купон, валюту и сроки платежа. 

ЗАМЕЧАНИЕ. К процентным и валютным свопам, соглашениям о будущей процентной ставке,  к форвардным валютным контрактам и процентным фьючерсам, а также к фьючерсам на индекс процентной ставки (например, LIBOR) требования к капиталу на покрытие специфического риска не применяются. Общий процентный риск рассчитывается по позициям по всем базисным активам аналогично кассовым операциям, по методу на основе срока до погашения или дюрации. 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
[1] Кузнецов Б.Т.  Математические методы финансового анализа. Учебное пособие. М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2006.

[2] Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Учебное пособие. В 2-х частях. Часть 1.  Риски из-за неопределенности процентных ставок. Минск: «Электронная книга БГУ», 2003.

[3] Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994 . – 192 с.

[4]  Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. Монография.  М.: «Дашков и К0», 2003. – 544 с., ил.

[5] Энциклопедия финансового риск-менеджмента./Под ред. А.А.Лобанова и А.В.Чугунова. – М.: Альпина Паблишер, 2003. – 786 с.