Математические модели финансовых рисков
Лекция 1
Тема лекции 1: «Математические основы определения цен финансовых активов»
Разделы лекции:
1. Деньги и банковские счета. Потоки платежей.
2. Финансовые активы. Финансовые инструменты. Акции, облигации.
3. Производные финансовые инструменты. Определение цен опционов.
РАЗДЕЛ 1. ДЕНЬГИ И БАНКОВСКИЕ СЧЕТА. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.
СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.
Основным институтом, обслуживающим финансовые рынки, являются банки. Одной из основных банковских операций является обслуживание банковских счетов: в определенные моменты времени банк обязуется добавлять к денежной сумме, лежащей на банковском счете, некоторый процент. Проценты могут быть простыми или сложными и начисляться n раз в год либо непрерывно.
КАК НАЧИСЛЯЮТСЯ ПРОЦЕНТЫ ПО СХЕМЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ?
Пусть в начальный момент времени на банковском счете лежит сумма B0, и на эту сумму в конце каждого года начисляется процент i (т. е. доля от первоначальной суммы B0), тогда в конце первого года сумма на счете составит:
B1=B0+B0•i=B0•(1+i),
в конце второго года –
B2=B0•(1+i) +B0•i=B0•(1+2i),
в конце k-го года (k – целое число) —
Bk=B0•(1+ k•i).
Такая схема называется схемой простых процентов.
ЗАМЕЧАНИЕ. Исторически схема простых процентов была самой первой, но она допускает простую возможность для владельца банковского счета заработать больше, чем предлагает банк.
Например, за два года можно увеличить сумму не до B0•(1+2i), а до B0•(1+i)2,
B0•(1+i)2= B0•(1+2i+i2)> B0•(1+2i),
а за k лет (k – целое число) не до B0•(1+ k•i), а до B0(1+i)k >B0•(1+k•i).
Для этого нужно в конце каждого года снимать со счета всю сумму, включая только что начисленные проценты, и тут же открывать новый счет и класть на него всю эту сумму.
КАК НАЧИСЛЯЮТСЯ ПРОЦЕНТЫ ПО СХЕМЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ?
Банки, конкурирующие между собой, естественно, предоставили вкладчикам возможность проводить такую операцию «переоткрытия счета» автоматически. Такая схема называется схемой сложных процентов и предполагает начисление процента не на первоначальную сумму B0, а на сумму, лежащую на счете после последнего начисления процентов. Таким образом, через (целое число) k лет при использовании схемы сложных процентов на счете будет лежать сумма:
Bk=B0•(1+i)k .
В конкурентной борьбе за вкладчиков банки предлагали все новые и новые возможности, например, начисление процентов не в конце года, а n раз в год. При этом, прежде всего, необходимо как-то сравнивать условия, предлагаемые различными банками, и для этого договорились всегда называть клиентам проценты годовых — процентную ставку i, выплачиваемую за год.
КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ ПРОЦЕНТ ЗА n-ю ЧАСТЬ ГОДА В СЛУЧАЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ?
Если за год выплачивается процент i, то за n-ю часть года в случае простых процентов, очевидно, будет выплачиваться процент
in = i/n,
и через k лет (т. е. через [n•k] начислений процентов) на счете будет лежать сумма:
Bk=B0•(1+ [n•k]•i/n). (1)
Здесь число k может быть уже как целым, так и дробным. Квадратными скобками [x] обозначена целая часть числа x – наименьшее целое число, не превосходящее x).
КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ ПРОЦЕНТ ЗА n-ю ЧАСТЬ ГОДА В СЛУЧАЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ?
Рассчитаем процентную ставку in , выплачиваемую за n-ю часть года в случае сложных процентов. За год сумма B0 увеличивается до B0(1+i), с другой стороны, если n раз за этот год начислялся процент in по схеме сложных процентов, то к концу года сумма B0 должна вырасти до B0•(1+ in)n. Таким образом, заключаем, что
B0(1+i)=B0•(1+in)n.
Отсюда,
(1+i)=(1+in)n.
Следовательно,
in=(1+i)1/n – 1.
Отсюда следует, что если за год выплачивается процент i, а в год осуществляется n процентных выплат, то в случае сложных процентов через k лет (т. е. через n•[k] + [n•{k}] начислений процентов) на счете будет лежать сумма
Bk=B0•(1+in)n•[k] + [n•{k}] = B0•((1+i)1/n)n•[k] + [n•{k}] .
Здесь, как и ранее, число k может быть как целым, так и дробным. Квадратными скобками [x] обозначена целая часть числа x, а фигурными скобками {x} — дробная часть x: {x} = x – [x].
Таким образом, в случае сложных процентов, начисляемых n раз в год, получим формулу:
Bk= B0•(1+i)[k] + [n•{k}] /n . (2)
КАК НАЧИСЛЯЮТСЯ ПРОЦЕНТЫ ПО СХЕМЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕНТОВ?
Дальнейшая конкуренция банков за вклады привела к схеме непрерывных процентов. Пусть сложные проценты начисляются n раз в год, а k=m/n — рациональное число (m и n — натуральные), тогда
Bk=B0•(1+in)m =B0•((1+i)1/n)m = B0•(1+i)k.
Пусть t>0 – действительное положительное число. Поскольку любое действительное число может быть сколь угодно точно приближено рациональным числом m/n, и, предполагая зависимость Bt от i и t непрерывной, получим формулу начисления непрерывных процентов:
Bt=B0•(1+i)t,
для любого действительного положительного числа t>0.
ЧТО ТАКОЕ ИНТЕНСИВНОСТЬ ПРОЦЕНТОВ?
При этом интенсивностью процентов δ называется мгновенная относительная скорость накопления средств на банковском счете при непрерывном начислении процентов:
δ= lim (Bt+?t – Bt)/(Bt •?t) = ln(1+i). ?t→0
Таким образом,
δ=ln(1+i).
Отсюда следует, что для схемы непрерывного начисления процентов имеем следующую формулу:
Bt=B0•exp{δ•t}, (3)
для любого действительного положительного числа t>0.
На рисунке 1 представлены графики функций:
для схемы простых процентов (1):
Bt=B0•(1+t•i),
и для схемы непрерывных процентов (3):
Bt=B0•exp{δ•t}.
Сравнение графиков функций
Vп.(t)=1+t•i,
Vн.(t)=(1+i)t,
наглядно показывает, что при t<1 простые проценты растут быстрее, чем сложные и непрерывные, а при t>1 – медленнее.
Рисунок 1. Сравнение роста простых процентов (тонкая линия) и непрерывно начисляемых процентов (жирная линия).
В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ КОМБИНИРОВАННАЯ СХЕМА СЛОЖНЫХ И ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ?
При расчетах за неполное число лет иногда применяется комбинированная схема сложных и простых процентов: за целое число лет начисляются сложные проценты, а за остаток года – простые:
Bt=B0•(1+i)[t].(1+{t}•i). (4)
ЧТО ТАКОЕ КОРОТКАЯ И ДЛИННАЯ ПОЗИЦИИ НА БАНКОВСКОМ СЧЕТЕ?
Если сумма Bt, лежащая на банковском счете в момент времени t, отрицательна (при этом говорят, что на счете образовалась короткая позиция), подразумевается, что банк кредитует вкладчика на сумму |Bt|, взимая за это тот же самый процент i, который начисляется на счета с положительной суммой (с длинной позицией). Очевидно, модели Очевидно, модели начисления процентов по схеме простых процентов (1), по схеме сложных процентов (2), по схеме непрерывных процентов (3) и по схеме комбинированных процентов (4) описывают и случай короткой, и случай длинной позиции на банковском счете.
ПРИМЕР 1. Через сколько лет удвоится сумма, положенная в банк под i=10% годовых, если начисления на банковский счет производятся по схеме: а) простых процентов; б) сложных процентов?
РЕШЕНИЕ. Через t лет исходная сумма B0 в случае простых процентов превратится в сумму:
Bt=B0•(1+ [t]•i),
а в случае сложных процентов – в сумму:
Bt=B0•(1+i)[t].
Чтобы ответить на вопрос, необходимо решить неравенства:
а) Bt=B0•(1+ [t]•i)≥2B0;
б) Bt=B0•(1+i)[t]≥2B0.
1. Решаем неравенство, полученное для случая а):
1+[t]•i≥2;
откуда получаем:
[t]≥1/i=1/0,1=10.
2.Для второго случая (схема сложных процентов) имеем:
(1+i)[t]≥2;
Отсюда находим:
[t]≥log(1+i) (2)=ln 2/ln (1+i)=ln 2/ln 1,1≈7,29.
Таким образом, в случае простых процентов сумма удвоится через 10 лет, а в случае сложных процентов – через 8 лет.
ЧТО ТАКОЕ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ?
Предположим, что мы должны выплатить в момент t>0 в будущем некоторую сумму Bt, и у нас есть возможность воспользоваться банковским счетом, по которому начисляется i процентов годовых. Какую сумму B0 можно положить на счет сегодня (в нулевой момент времени), чтобы к моменту t иметь на счете в точности требуемую сумму?
Очевидно, суммы B0 и Bt связаны:
равенством (1) в случае простых процентов,
равенством (2) — в случае сложных процентов, и
равенством (3) — в случае непрерывных процентов.
Для этих трех случаев получаем, соответственно, следующие выражения для начальной суммы.
В случае простых процентов начальная сумма равна:
B0=Bt/(1+[n•t]•i/n). (5)
В случае сложных процентов начальная сумма равна:
B0=Bt•(1+i)-([t] + [n•{t}] /n) . (6)
В случае непрерывных процентов начальная сумма равна:
B0=Bt•(1+i)-t =Bt•exp{-δ•t}. (7)
Таким образом, ценность денег постоянно меняется во времени.
ПРИМЕР 2.
Например, один миллион рублей, выплаченный (не важно, нам или нами) сегодня — это совсем не то же самое, что тот же 1 000 000 руб., выплаченный через 10 лет. Сегодня этой суммой можно воспользоваться (хотя бы для получения процентного дохода от вложения на банковский счет), а десятилетний срок ожидания довольно-таки долог. Если мы отложим использование данной суммы на 10 лет, и на этот срок положим ее в банк (который для определенности, платит 10% годовых), то через 10 лет у нас будет не один миллион рублей, а сумма, равная в соответствии со схемой (2):
1000000•(1+0,10)10 =2593742 руб. 46 коп.
То есть мы получим более чем в 2,5 раза больше первоначальной суммы в один миллион рублей.
КАК МОЖНО СРАВНИТЬ ДЕНЕЖНЫЕ СУММЫ И ПРОИЗВОДИТЬ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ?
Пример показывает, что сравнивать, складывать и производить любые другие операции над денежными суммами можно только в том случае, когда эти суммы рассматриваются в один и тот же момент времени. При этом нужные операции необходимо производить не над рассматриваемыми денежными суммами, а над их современными эквивалентами.
В реальных условиях обычно используются схемы сложных или непрерывных процентов; при этом сумма Bt в момент времени t>0 имеет в момент времени t0=0 ценность B0 , определяемую соответствующей из формул (6), (7). Если t<0, то формулы (6),(7) приведут просто к сумме B0, накопленной за срок | t |= –t.
ЧТО ТАКОЕ СОВРЕМЕННАЯ (ПРИВЕДЕННАЯ) СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОЙ СУММЫ?
Итак, вне зависимости от знака t, ЦЕННОСТЬ в настоящий момент времени суммы Bt, выплачиваемой в момент времени t, определяется формулами (6), (7).
Эта ЦЕННОСТЬ B0 денежной суммы Bt в настоящий момент времени называется ПРИВЕДЕННОЙ (или современной) СТОИМОСТЬЮ суммы Bt .
Приведенная стоимость единичной суммы Bt=1 обозначается vt .
КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ЕДИНИЧНОЙ СУММЫ Bt=1?
В случае сложных процентов из формулы (6) находим:
vt=(1+i)-([t] + [n•{t}] /n) . (8)
А в случае непрерывного начисления процентов из формулы (7) находим:
vt=(1+i)-t =exp{-δ•t}. (9)
ЧТО ТАКОЕ КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ?
Величина
v=(1+i)–1 (10)
называется коэффициентом дисконтирования.
При этом в случае непрерывного начисления процентов из формулы (3) следует, что
B0=Bt•vt .
Поскольку начальный момент времени может быть выбран произвольно, ценность суммы Bt1 в момент времени t2 определяется формулой:
Bt2 =Bt1 •vt1 - t2 .
Отсюда,
Bt1 •vt1 = Bt2 •vt2 . (11)
формула (11) выражает ОДИНАКОВУЮ ЦЕННОСТЬ обеих сумм в момент времени t0=0.
ПРИМЕР 3. Что предпочтительнее: получить 10000 рублей через год, получить 11000 рублей через два года или 12000 рублей через три года, если банк начисляет сложные проценты по ставке i =10% годовых?
РЕШЕНИЕ. В задаче требуется определить ценности следующих денежных сумм:
B(1)1=10000 руб.,
B(2)2=11000 руб.,
B(3)3=12000 руб.,
То есть найти, соответственно, приведенные денежные суммы:
B(1)0=?,
B(2)0=?,
B(3)0=?.
По формуле (6) находим:
B(1)0=B(1)1/(1+i)=10000/1,1≈9090 руб. 91 коп.,
B(2)0=B(2)2/(1+i)2=11000/1,12≈9090 руб. 91 коп.,
B(3)0=B(3)2/(1+i)3=12000/1,13≈9015 руб. 78 коп.
ВЫВОД. Первые два варианта равноценны, так как начальные суммы для этих вариантов равны между собой:
B(1)0=B(2)0 ≈9090 руб. 91 коп.
Для этих сумм выполнена формула (11):
B(1)1•v= B(2)2•v2,
где коэффициент дисконтирования
v=(1,1)-1.
Поскольку начальная сумма для третьего варианта B(3)0 меньше каждой из начальных сумм для первого и второго вариантов, то первый и второй варианты предпочтительнее третьего варианта.
ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ПОТОКОМ ПЛАТЕЖЕЙ?
Потоком платежей называется последовательность
( t0; Bt0), (t1; Bt1), (t2; Bt2) , ... , (tk; Btk) , ... , (12)
где tk — моменты времени, Btk — платежи, происходящие в соответствующие моменты tk (k =0, 1, 2, ... , n, ...).
Поток платежей может быть конечным, если последовательность (12) состоит из конечного числа n платежей, или бесконечным в противном случае.
Потоки платежей удобно изображать графически, при этом положительные величины платежей, соответствующие денежным поступлениям, изображаются стрелками, направленными вверх, а отрицательные величины платежей, соответствующие денежным выплатам, — стрелками, направленными вниз (рисунок 2).
Рисунок 2. Поток платежей.
ПРИМЕР 4. Предположим, что мы должны вернуть два долга: 14 000 руб. через год и 6000 руб. через два года и хотим погасить свою задолженность досрочно, сегодня. Какую сумму мы должны выплатить, если ставка банковского процента равна i=10%?
РЕШЕНИЕ. Поток платежей, соответствующий условиям данного примера, изобразим на рисунке 3.
Рисунок 3. Поток платежей в примере 4.
Предположим, что кредитор предлагает нам просто осуществить сегодня платеж, равный суммарному долгу: B1+B2 = –14 000+(–6000) =–20 000 руб.
Если бы мы сегодня поместили эту сумму x=20000 руб. в банк, то через год она превратилась бы в сумму:
x(1+i)=20000•(1+0,1)=22000 руб.
Из этой суммы мы бы выплатили первый долг 14 000 руб., а оставшиеся 22 000 – 14 000 = 8000 руб. оставили бы на банковском счете. Тогда еще через год на счете будет 8000(1 + 0,1) = 8800 руб., из которых мы заплатим долг 6000 руб., при этом у нас на счете останется 8800 – 6000 = 1800 руб. Ясно, что согласившись выплатить просто сумму долгов, мы существенно переплатили бы.
Найдем теперь справедливый размер X нашей сегодняшней выплаты. Через год сумма X превратится в X(1+i), и из этой суммы мы выплатим первый долг B1 = –14 000 руб. Остаток y=X(1+i)+B1 еще через год превратится в сумму
(X(1+i)+B1)•(1+i)=X(1+i)2+B1•(1+i),
из которой мы выплатим второй долг B2 = –6000 руб., после чего на счете останется
z=X(1+i)2 + B1•(1+i)+B2.
Если этот остаток будет положителен, то такая операция несправедлива по отношению к должнику, а если он будет отрицателен — то по отношению к кредитору. Таким образом, справедливая сумма X должна определяться из условия:
X(1+i)2 +B1•(1+i)+B2=0,
что дает
X= –(B1•(1+i) –1 +B2•(1+i) –2).
В нашем примере
X=12 727,27 + 4958,68 = 17 685,95 руб. = 17 685 руб. 95 коп.,
где первое слагаемое 12 727 руб. 27 коп. — это абсолютная величина современной стоимости первого долга, а 4958 руб. 68 коп. — абсолютная величина современной стоимости второго долга. ?
Пример 4 демонстрирует, что для того, чтобы оценить современную стоимость потока платежей, необходимо все эти платежи привести к начальному моменту времени, после чего сложить полученные приведенные стоимости платежей.
ЧТО ТАКОЕ СТОИМОСТЬ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ?
Можно обобщить этот результат и рассматривать стоимость потока платежей не только в настоящий момент времени, но и в любой другой момент времени T.
СТОИМОСТЬЮ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ (12) в момент времени T называется сумма платежей, дисконтированных (приведенных) к этому моменту:
B(T) = ∑ Btk•(1+i)T- tk , (13) k
ЧТО ТАКОЕ СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ?
Величина
NPV=B(0)= ∑ Btk•(1+i)- tk , (14) k
называется СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТЬЮ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ (12) или его чистым приведенным доходом (Net Present Value).
ЧТО ТАКОЕ НАКОПЛЕННАЯ СТОИМОСТЬ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ?
Величина
n
NFV = B(tn) = ∑ Btk•(1+i)tn- tk , (14) k=1
называется НАКОПЛЕННОЙ СТОИМОСТЬЮ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ (12) к моменту tn или его чистым накопленным доходом к моменту tn (Net Future Value); обычно рассматривают накопленную стоимость потока платежей к моменту последнего платежа.
В пакете Microsoft Excel существует функция NPV для вычисления современной стоимости потока платежей.
РЕНТЫ.
ЧТО ТАКОЕ РЕНТА?
Рентой называется право на получение одинакового платежа C с одинаковой периодичностью; иными словами, рента — это поток одинаковых платежей с одинаковыми промежутками между платежами.
ЧТО ТАКОЕ АННУИТЕТ?
Ограниченной рентой или аннуитетом называется рента, состоящая из конечного числа n одинаковых платежей C, выплачиваемых с одинаковой периодичностью.
КАКАЯ РЕНТА НАЗЫВАЕТСЯ ВЕЧНОЙ?
Если платежи ренты никогда не заканчиваются, то такая рента называется вечной.
КАКАЯ РЕНТА НАЗЫВАЕТСЯ ГОДОВОЙ?
Если платежи ренты производятся строго в конце года, такая рента называется годовой, иначе — общей.
КАКАЯ РЕНТА НАЗЫВАЕТСЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ?
Если платежи производятся в конце каждого периода, то такая рента называется запаздывающей, а если в начале каждого периода — то упреждающей.
РАЗДЕЛ 2. ФИНАНСОВЫЕ АКТИВЫ. ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ. АКЦИИ, ОБЛИГАЦИИ.
Цель настоящего раздела - дать понятие о финансовых инструментах, показать, как определяются их цены, подчеркивая фундаментальную роль, которую играют процентные ставки при определении этих цен.
ЧТО ТАКОЕ ФИНАНСОВЫЕ АКТИВЫ?
Финансовым активом или просто активом (asset) мы будем называть собственность, которая приносит проценты.
По своей сути финансовые активы являются финансовыми контрактами, которые заключаются между двумя сторонами. Одна из сторон выплачивает определенный соглашением поток платежей (т. е. выплачивает согласованные суммы в согласованные даты) и взамен получает другой поток платежей, который тоже состоит из согласованных контрактом сумм, выплачиваемых в согласованные даты. Суммы второго потока платежей больше сумм первого потока на величину процентов.
ЧЕМ ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ СПРАВЕДЛИВЫЙ ФИНАНСОВЫЙ КОНТРАКТ?
В справедливом контракте настоящая стоимость обоих потоков платежей при согласованной процентной ставке одинакова. Однако так будет, если процентная ставка, используемая в контракте, совпадает с безрисковой процентной ставкой финансового рынка. Если же процентная ставка, используемая в контракте, не равна безрисковой процентной ставке, то контракт не является справедливым и одна из сторон понесет финансовые потери. Таким образом, если безрисковая ставка неизвестна при заключении контракта, возникает опасность понести финансовые потери из-за неопределенности процентной ставки.
Простейшим контрактом является соглашение, по которому одна сторона, инвестор, в исходную дату контракта (часто говорят, в настоящее время) выплачивает определенную сумму и без всяких промежуточных платежей с обеих сторон получает в другую более позднюю дату (дату исполнения) согласованную по контракту сумму. Обе эти суммы однозначно связаны между собой через третью величину.
ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ. ОСНОВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ.
С целью привлечения денежных средств различные организации могут выпускать свои ценные бумаги — облигации и акции.
ЧТО ТАКОЕ ЦЕННАЯ БУМАГА?
Ценная бумага понимается в общем как законодательно признанное свидетельство права на получение ожидаемых в будущем доходов при конкретных условиях.
Часто ценные бумаги называют также финансовыми инструментами.
КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ СУЩЕСТВУЮТ?
Имеются три основных вида финансовых инструментов: деньги, облигации и акции, но существуют и другие виды ценных бумаг.
ЧТО ТАКОЕ ОБЛИГАЦИЯ?
Облигация представляет собой долговое обязательство. Владелец (или держатель) облигации номинальной стоимостью F, выпущенной на срок T лет, покупая ее по некоторой начальной цене P, получает от эмитента (организации, выпустившей эту облигацию) подтверждение задолженности в размере номинальной стоимости, которую эмитент обязуется ликвидировать в момент погашения T. При этом номинальная стоимость превышает начальную и, кроме того, обычно эмитент обязуется периодически (как правило, раз в год, раз в полгода или раз в квартал) выплачивать держателю облигации так называемый купонный доход C — определенный процент от номинальной стоимости.
В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ СХОДСТВО ОБЛИГАЦИИ С БАНКОВСКИМ СЧЕТОМ?
Облигация с точки зрения инвестора очень похожа на банковский счет и имеет следующие сходства.
1. Эмитент обязуется выплачивать купонный доход в размере, определенном при выпуске облигации. Точно так же банк обязуется выплачивать проценты по банковскому счету в размере, определенном в момент заключения договора.
2. Инвестор покупает облигацию только в том случае, если он уверен в платежеспособности эмитента (то есть в том, что эмитент выполнит свои обязательства по погашению облигации и выплате купонного дохода). Точно так же и с банковским счетом: инвестор положит деньги на счет, только если уверен, что банк выполнит свои обязательства по возврату основной суммы и выплате процентов.
3. Государство осуществляет строгий контроль за эмитентами облигаций, как и за коммерческими банками, тем самым предоставляя покупателям облигаций, как и вкладчикам банков, определенные гарантии.
ЧТО ТАКОЕ АКЦИЯ?
Акция — это долевое обязательство: ее обладатель получает право долевого участия в управлении акционерной компанией, выпустившей эти акции (каждой акции соответствует определенное число голосов на ежегодном общем собрании акционеров — высшем органе управления компанией), в активах и прибылях (дивидендах) этой компании.
Спекулятивные операции с акциями, как правило, обеспечивают существенно большую доходность, чем банковские процентные ставки или купонные выплаты по облигациям.
При этом заранее невозможно точное детерминированное предсказание будущей доходности. Поэтому акции являются наиболее рискованными ценными бумагами.
Вложения на банковский счет и в облигации являются менее рискованными операциями. Банковский счет предполагает начисление заранее оговоренных процентов в заранее оговоренные сроки и возврат вложенной суммы и накопленных процентов в заранее оговоренный срок. Облигация предполагает погашение по заранее оговоренной номинальной стоимости в заранее оговоренный срок, а также выплату купонного дохода в заранее оговоренные моменты времени. Поэтому в финансовой математике банковский счет и облигацию считают безрисковыми финансовыми инструментами, хотя, конечно, и здесь присутствует риск.
ЧТО ТАКОЕ (B,S)-РЫНОК?
Предположим для простоты, что на рынке обращается одна ценная бумага (для определенности — акция), и ее стоимость в конце периода времени t составляет St .
Предположим также, что инвестор имеет возможность:
- размещать средства на банковском счете и брать с него в долг;
- покупать и продавать акции.
Тогда для этого инвестора на рынке существует безрисковый актив (банковский счет) B и рисковый актив (акция) S.
Будем считать, что проценты на банковский счет начисляются по схеме сложных процентов с постоянной ставкой i(t)=i=const, так что в конце каждого периода сумма на счете увеличивается в (1+i) раз:
Bt=Bt –1•(1+i).
Будем предполагать, что операционные издержки, связанные с переводом средств между активами, отсутствуют, а также что активы являются безгранично делимыми, т. е. можно купить и продать любую часть акции, положить на счет и снять с него любую его часть.
Функционирующий по таким правилам рынок будем называть (B, S)-рынком.
Рассмотрим поведение стоимости акции St на (B, S)-рынке в течение года, т. е. в течение промежутка времени [0; 1].
Предположим, что в течение данного периода времени стоимость акций может увеличиться в u раз или увеличиться в d раз (уменьшиться в 1/d раз), причем d<1<1+i<u (рисунок 4).
Рисунок 4.Изменение цены акции за один период времени.
ЧТО ОЗНАЧАЕТ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ОБ ОТСУТСТВИИ НА РЫНКЕ АРБИТРАЖНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ?
На идеальном рынке отсутствуют арбитражные возможности, т. е. невозможно извлечь безрисковый доход, больший чем процент, начисляемый на банковский счет.
Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбитражные возможности, означает, что математическое ожидание цены акции на таком рынке к концу года MS1 должно совпадать с суммой, которая оказалась бы на банковском счете к концу года, если бы сумма S0 была в начале года положена на счет, т. е. с суммой S0(1+i).
MS1 = S0•(1+i).
В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКЦИЙ?
Процесс изменения цены акции в течение n периодов можно представить как последовательность n независимых испытаний, в которых успехом считается повышение цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опускалась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит
Sn=S0•uk• dn – k .
Вероятность наступления k повышений и (n – k) понижений цены акции составит по формуле Бернулли
Pn (k) = Cnk •pk (1-p)n- k .
Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помощью нейтральной к риску вероятности p(n) , определяемой формулой:
p(n) =((1+i)T/n – d)/(u – d). (15)
Таким образом, цена акции к концу n-го периода (т. е. в момент времени T) может принимать значения
Sn=S0 • uk • dn–k
с вероятностями
P{ST= S0•u k• dn–k}= Cnk •p(n)k (1-p(n))n- k , k=0,1, 2, ... , n . (16)
Данная модель (16), называемая биномиальной моделью ценообразования акции, была предложена в 1979 году Дж. Коксом, Р. Россом и М. Рубинштейном.
Процесс изменения цены акции в течение n периодов (n=4) проиллюстрирован на рисунке 4.
Рисунок 4. Процесс изменения цены акции в течение n периодов (n=4).
РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕН ОПЦИОНОВ.
КАКИЕ ТИПЫ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ЯВЛЯЮТСЯ НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫМИ?
Банковский счет, акции и облигации называются основными финансовыми инструментами. На их базе могут быть построены более сложные финансовые инструменты — производные. Наиболее распространенные типы производных финансовых инструментов — это форварды, фьючерсы и опционы.
ЧТО ТАКОЕ ФОРВАРД?
Форвард — это ценная бумага, представляющая собой соглашение о приобретении или продаже в определенный момент времени в будущем определенной ценности по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта.
ЧТО ТАКОЕ ФЬЮЧЕРС?
Форвардный контракт, заключенный на бирже, называется фьючерсом. Биржа при этом берет на себя роль посредника между покупателем и продавцом, каждый из которых заключает отдельный договор с биржей. Эти договоры являются стандартизованными, т. е. их условия (количество и качество поставляемого товара и т. п. одинаковы для всех участников). ЧТО ТАКОЕ ОПЦИОН?
Опцион — это ценная бумага, представляющая собой договор, по которому одна из сторон (продавец) продает опцион за определенную премию, а другая сторона (покупатель или владелец) при этом получает право (но не обязанность) в течение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить определенный актив по фиксированной цене, определяемой в момент заключения договора и называемой терминальной стоимостью опциона (такой опцион называется опционом покупателя), либо продать актив по терминальной стоимости (такой опцион называется опционом продавца).
КАК РАЗЛИЧАЮТСЯ ОПЦИОНЫ ПО СРОКАМ ИСПОЛНЕНИЯ?
По срокам исполнения опционы делятся на европейские и американские. Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истечения срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.
В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ОСНОВНОЕ ОТЛИЧИЕ ФЬЮЧЕРСОВ ОТ ОПЦИОНОВ?
Основным отличием фьючерсов от опционов является то, что первый представляет собой обязательство покупки или продажи актива по фиксированной цене, а второй — право.
Широко распространены и другие производные финансовые инструменты, в частности, инструменты, производные от производных, например, опцион на фьючерс.
Важно уметь рассчитывать стоимости производных финансовых инструментов, для чего создаются соответствующие математические модели этих инструментов. Рассчитать стоимость форвардного (или фьючерсного) контракта достаточно просто. С опционами дело обстоит несколько сложнее. Несмотря на то, что такие финансовые инструменты известны достаточно давно, организованная торговля ими началась только в 1973 г., когда в работах Ф. Блэка и М. Шоулза и С. Мертона была впервые построена работоспособная математическая теория ценообразования опционов.
КАКАЯ СТОИМОСТЬ ФИНАНСОВОГО ИНСТРУМЕНТА СЧИТАЕТСЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ?
Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска; иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счета.
КАК НАЙТИ РАЦИОНАЛЬНУЮ СТОИМОСТЬ СТАНДАРТНОГО ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА ПОКУПАТЕЛЯ?
Рассмотрим ценообразование опционов в рамках биномиальной модели Кокса — Росса — Рубинштейна (15).
Найдем рациональную стоимость T стандартного европейского опциона покупателя.
Очевидно, РАЦИОНАЛЬНАЯ СТОИМОСТЬ ОПЦИОНА В МОМЕНТ ЕГО ИСПОЛНЕНИЯ СОВПАДАЕТ С ПРИБЫЛЬЮ, КОТОРУЮ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ, ИСПОЛНИВ ОПЦИОН.
Данный опцион имеет смысл исполнять, т. е. пользоваться заложенным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда рыночная цена Sn этой акции к моменту окончания срока действия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X .
Если рыночная цена акции Sn окажется больше X, держатель опциона, исполнив его, получит доход (Sn – X). Если же рыночная цена акции Sn окажется меньше X, держатель опциона просто не будет его исполнять и получит нулевой доход.
Таким образом, если цена акции в момент исполнения опциона известна и равна Sn , то доход от исполнения такого опциона составит
C(n)=max{Sn – X; 0}.
Поскольку цена акции Sn является случайной величиной, определяемой рядом распределения (16) биномиальной модели ценообразования акции, доход от исполнения опциона покупателя также является случайной величиной, которая принимает значения
ck = max{S0•uk•dn–k – X; 0} (k=0,1,2,...,n)
с вероятностями
Pn(k) = Cnk •p(n)k (1-p(n))n- k , k=0,1, 2, ... , n .
Оценка опциона происходит перед началом первого периода, поэтому для получения его рациональной стоимости T достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения опциона на срок его действия:
(17)
Таким образом, рациональная стоимость T европейского опциона покупателя со сроком погашения T (в годах) и ценой исполнения X, выписанного на акцию с текущей ценой S0, описывается формулой (17), в которой i — банковская (годовая) процентная ставка,
срок действия опциона делится на n периодов (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан опцион, может повыситься в u или в d раз),
p(n) — вероятность, нейтральная к риску, определяемая формулой (15).
КАК ФОРМУЛИРУЕТСЯ ТЕОЕРЕМА О ПАРИТЕТЕ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ?
Пусть одновременно заключаются два опционных контракта: опцион покупателя и опцион продавца, с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию. Стоимость акции в начальный момент равна S0, банковская (годовая) процентная ставка равна i; пусть CT и PT – рациональные стоимости этих опционов, соответственно.
Рациональность стоимости означает, что из инструментов с такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого превысит безрисковую доходность.
Если выполнено неравенство:
PT – CT+S0>X/(1+i)T ,
то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион продавца на нее и купить опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет получена сумма:
PT – CT + S0 ,
а в момент исполнения опционов необходимо будет выплатить сумму X, текущая стоимость которой составляет
X/(1+i)T .
Таким образом, будет получен выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональности стоимости опционов.
Аналогично, если выполнено неравенство:
PT – CT+S0 < X/(1+i)T ,
то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выплачена сумма:
PT – CT + S0 ,
а в момент исполнения опционов — получена сумма X, текущая стоимость которой составляет:
X/(1+i)T .
То есть данная стратегия принесет выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональной стоимости опционов.
Полученные противоречия показывают, что для рациональной стоимости СT опциона покупателя и рациональной стоимости PT опциона продавца справедлива ТЕОРЕМА О ПАРИТЕТЕ:
PT – CT+S0 = X/(1+i)T .
ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что данное соотношение паритета справедливо только для европейских опционов.
В 1973 г. Ф. Блэк и М. Шоулз и Р. Мертон в работе получили формулу для оценки рациональной стоимости опциона покупателя. Согласно модели Блека – Шоулза, рациональная стоимость опциона есть разница между текущим ожидаемым доходом от исполнения опциона и текущими ожидаемыми расходами.
КАК ФОРМУЛИРУЕТСЯ ТЕОРЕМА О ПАРИТЕТЕ ОПЦИОНОВ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА В МОДЕЛИ БЛЕКА – ШОУЛЗА?
Теорема о паритете опционов покупателя и продавца в модели Блэка — Шоулза принимает вид:
PT – CT+S0 =X•exp{-δ•T} .
Теория оценки производных инструментов имеет широкие приложения, выходящие далеко за пределы рынка ценных бумаг. Банки и инвестиционные компании, разрабатывающие новые производные инструменты, в том числе по заказу клиентов, используют описанную методику для оценки рациональной стоимости этих инструментов. Аналогичные методы могут быть использованы для оценки страховых контрактов и гарантий, так как они являются своего рода производными инструментами, предоставляя своим держателям право, но не обязательство их использования. Эти методы могут быть использованы и при оценке эффективности реальных инвестиций.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
[1] Кузнецов Б.Т. Математические методы финансового анализа. Учебное пособие. М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2006.
[2] Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Учебное пособие. В 2-х частях. Часть 1. Риски из-за неопределенности процентных ставок. Минск: «Электронная книга БГУ», 2003.
[3] Соловьев В.И. Математические основы управления рисками. Учебное пособие. М.: ГУУ, 2003.
[4] Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. Монография. М.: «Дашков и К0», 2003. – 544 с., ил.
[5] Энциклопедия финансового риск-менеджмента./Под ред. А.А.Лобанова и А.В.Чугунова. – М.: Альпина Паблишер, 2003. – 786 с.