Показатели асимметрии и эксцесса.

Асимметрия – это показатель симметричности (скошенности) кривой распределения, а эксцесс определяет ее островершинность. При левостронней асимметрии ее показатель является положительным и в распределении преобладают более низкие значения признака. При правостронней – показатель положительный и преобладают более высокие значения. У всех симметричных распеделений (в том числе и у нормального распределения) величина асимметрии равна нулю. Формула показателя асимметрии является следующей:А=?(Хi-Mх)3/n*Q3 Если в распределении преобладают значения близкие к среднему арифметическому, то формируется островершинное распределение. В этом случае показатель эксцесса стремится к положительной величине. У нормального распределения эксцесс равен нулю. Если у распределения 2 вершины (бимодальное распределение), то тогда эксцесс стремится к отрицательной величине. Показатель эксцесса определяется по формуле:Е=(?(хi-mx)4/n*Q4)-3

Показатели асимметрии и эксцесса. Асимметрия – это свойство распределения выборки, которое характеризует несимметричность распределения случайной величины. На практике симметричные распределения встречаются редко и чтобы выявить и оценить степень асимметрии, вводят следующую меру (третий центральный момент) При смещении вправо от центра асимметрия будет характеризоваться положительным числом, при смещении влево - отрицательным. Коэффициент асимметрии - это нормированный момент третьего порядка. Считается, что кривые с абсолютной величиной показателя асимметрии А *> ± 0,5 характеризуются значительным смещением. Если А. ^ ± 0,25 - асимметрия незначительна. Если ^ = 0 - распределение симметричный, если А1> 0 распределение имеет правостороннюю асимметрию; если 1 <0 - левосторонняя асимметрия. При симметричном распределении средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. Для асимметричных кривых эти статистические величины неодинаковы. Причем средняя арифметическая и медиана смещены от центра в сторону длинной ветки кривой. Поскольку средняя арифметическая "слух" до "точного" положение более отдаленных от моды точек кривой, а медиана "неслышно", то средняя сдвинута больше, чем медиана. В этом случае медиана находится между модой и средней арифметической. Направление асимметрии геометрически устанавливается очень просто. Количественная форма степени асимметрии требует нахождения ее алгебраической степени. При преобладающем количестве вариант в ряде распределения меньших по размеру от выборочной средней коэффициент асимметрии будет отрицательным. Если в вариационном ряду преобладают варианты по величине больше средней, будет иметь место положительная асимметрия. Отрицательной стороной коэффициента асимметрии, как меры асимметрии, следует назвать то, что этот показатель не имеет ни верхней, ни нижней границы. Особо крупный размер коэффициента асимметрии практически почти не имеет места. Кроме рассмотренного способа оценки степени асимметрии, существуют и другие методические приемы. Они являются предметом изучения специального курса. Эксцесс – это мера крутости кривой распределения. Для установления степени отклонения от нормального распределения вычисляют показатель эксцесса. Он характеризует отклонение от нормального распределения вариант с выступание или падением вершины кривой распределения. Если фиксатор выступает вершины эксцесс называют положительным, при ее падении - отрицательным. Для количественного измерения островершинности используется центральный момент четвертого порядка. Отношение последнего к среднеквадратичного отклонения в четвертом степени называют коэффициентом островершинности (эксцесс). То есть вычисляется нормированный момент четвертого порядка). Таким образом, коэффициент эксцесса определяется отношением половины размаха между двумя квартилями к разнице 90-го и 10-го перцентилей. (Величины, характеризующие разделение распределения на четыре, десять и сто равных частей, называются соответственно квартилями, дециле и перцентили).