Моделирование тенденции временного ряда.

Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: ,*ч линейный тренд: yt = a + b • t; гипербола: yt = a + ^; экспоненциальный тренд: yt = e (или yt = a • b ); b степенная функция: yt = a • t ; полиномы различных степеней: yt = a + b • t + b2 • t +... + bm • tm. Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, n, а в качестве зависимой переменной фактические уровни временного ряда yt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации. Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную .?ч ./ч тенденцию, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов. Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

Одним из наиболее распространенных способов моделирова­ния тенденции временного ряда является построение аналитиче­ской функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим вы­равниванием временного ряда. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные ви­ды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:линейный тренд: Моделирование тенденций временного ряда. • гипербола: Моделирование тенденций временного ряда. • экспоненциальный тренд: Моделирование тенденций временного ряда. • тренд в форме степенной функции: Моделирование тенденций временного ряда. • парабола второго и более высоких порядков:Моделирование тенденций временного ряда. Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой перемен- 1 ной — фактические уровни временного ряда Моделирование тенденций временного ряда.. Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэф­фициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни Моделирование тенденций временного ряда. и Моделирование тенденций временного ряда. тес­но коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, напри­мер, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции пер­вого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет вы­ше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уров­ням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изуча­емом временно м ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов. Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит не­линейную тенденцию, можно осуществить путем перебора ос­новных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректи­рованного коэффициента детерминации R2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффи­циента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.Для выявления основной тенденции (тренда) в уровнях ряда, т.е. выравнивания ряда динамики, используются различные методы: · методы механического выравнивания (без использования количественной модели); · метод аналитического выравнивания (с использованием количественной модели). Методы механического выравнивания (скользящих средних, экспоненциального сглаживания) рассматривались ранее. Метод аналитического выравнивания В эконометрике большое внимание уделяется методу аналитического выравнивания. Данный метод заключается в построении уравнения регрессии, характеризующего зависимость уровней ряда от временной переменной. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: • линейный тренд: ; • гипербола: ; • экспоненциальный тренд: ; • тренд в форме степенной функции ; • парабола второго и более высоких порядков . Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой переменной — фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов необходимо предварительно провести стандартную процедуру их линеаризации. Предположим, что неслучайная составляющая линейно зависит от времени . Члены временного ряда в этом случае описываются формулой . Отсюда, случайные остатки находятся по формуле . ( . ) Метод наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие параметры при которых величина принимает наименьшее значение. Условие существования экстремума функции - это равенство нулю в точке экстремума обеих ее частных производных: , . Отсюда получается следующая система: из которой легко находятся параметры . Необходимо заметить, что , а . Метод последовательных разностей. При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения в этом случае является равенство интервалов между уровнями ряда). Он считается наиболее простым. в ходе которого анализируют цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) , абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда) и цепные коэффициенты роста . Если примерно одинаковы , то ряд имеет линейный тренд, если же примерно постоянны , то для описания тенденции временного ряда следует выбрать параболу второго порядка. Если примерно равны , то необходимо использовать экспоненциальную или степенную функции.