Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.
Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид - текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .
Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение . Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .
Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M (x; y) при данных значениях x и ?x.
Вычисление дифференциала - .
Применение дифференциала в приближённых вычислениях - , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.
Теорема . Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Теорема . Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции
1. Вычисляют производную данной функции.
2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции
3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.
4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале , то на этом интервале возрастает; если же , то на таком интервале убывает.
В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.
Определение . Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки .
Если - точка максимума (минимума) функции , то говорят, что (минимум) в точке . Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).
Теорема . (необходимый признак экстремума). Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .
Теорема (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции .
Основные моменты исследования производной:
1. Находят производную .
2. Находят все критические точки из области определения функции.
3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.