Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же и равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1-p.
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз. (не требуется, чтобы событие А повторилось k раз в определенной последовательности). Искомую вероятность обозначим Pn,k. Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли.
Найдем вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится k раз и n-k раз не появится. Используя теоремы сложения и умножения, имеем:
Можно доказать, что число слагаемых S будет равно числу сочетаний из n элементов по k. Тогда:
Теорема (Формула Бернулли): Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А появляется с одной и той же вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится k раз вычисляется по формуле:
Пример: Монету подбросили 10 раз. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет ровно 8 раз.
Решение: Вероятность появления герба в одном испытании (р) равна 1/2. Тогда q = 1/2- вероятность невыпадения герба. По формуле Бернулли имеем:
Пример: Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 часов работы.
2. Локальная теорема Лапласа.
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. формула требует выполнения действий над громадными числами.
Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события А ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Для частного случая (р=1/2) эта формула была найдена в 1730 году Абрахамом де Муавром. В 1783 году Пьер-Симон Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного значения р, отличного от 0 и 1. Поэтому, теорему часто называют теоремой Муавра- Лапласа.
Теорема (Локальная теорема Лапласа): Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом из них постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что событие А появится k раз приближенно равна:
Чем больше значение n, тем точнее результат дает данная формула.
Значения функции длявычисляются с помощью специальных таблиц значений функции. При х>4 принято считать. Для вычисления значений от отрицательного аргумента пользуются свойством четности данной функции:.
Пример: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 8 раз.
Решение: n=100; p=0,75; q=0,25; k=8.
Пример: Найдите вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность наступления его в одном испытании равна 0,2.
Решение: n=400; k=80; p=0,2; q=0,8.
3. Интегральная теорема Лапласа.
Теорема (Интегральная теорема Лапласа): Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится с одной и той же вероятностью р. Тогда, вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз, приближенно равна:, где -функция Лапласа.
Значения функции Ф(х) для вычисляются с помощью специальных таблиц значений функции. При х>5 принято считать Ф(x)=0.5. Для вычисления значений Ф(x) от отрицательного аргумента пользуются свойством нечетности данной функции: Ф( - x)= - Ф(x) .
Пример: Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенными от 70 до 100.
Решение: p=0,2; q=0,8; n=400; k1 = 70; k2 = 100
Пример: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 раз и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
Решение: n=100; p=0,75; q=0,25.
а) k1 = 70; k2 = 800.
б) k1 = 0; k2 = 70.