Выборочным коэффициентом корреляции называется отношение выборочного корреляционного момента к произведению выборочных средних квадратических отклонений этих величин.
Коэффициент корреляции показывает тесноту и направление связи.
Свойства выборочного коэффициента корреляции:
1. значения коэффициента корреляции изменяются на множестве r [-1;1];
2. чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции, тем теснее связь между изученными признаками;
3. если коэффициент корреляции равен 0 (k=0), то между изученными признаками нет линейной корреляционной зависимости,
если |k|=1, то связь полная;
если 0,7<|k|<0,99, то связь сильная;
если 0,3<|k|<0,7, то связь средняя;
если |k|<0,3, то связь слабая.
Если r [-1;0), то связь обратная;
если r (0;1] – зависимость прямая.
Выборочный коэффициент корреляции
Понятие корреляции является одним из основных понятий теории вероятностей и математической статистики, оно было введено Гальтоном и Пирсоном.
Закон природы или общественного развития может быть представлен описанием совокупности взаимосвязей. Если эти зависимости стохастичны, а анализ осуществляется по выборке из генеральной совокупности, то данная область исследования относится к задачам стохастического исследования зависимостей, которые включают в себя корреляционный, регрессионный, дисперсионный и ковариационный анализы. В данном разделе рассмотрена теснота статистической связи между анализируемыми переменными, т.е. задачи корреляционного анализа.
В качестве измерителей степени тесноты парных связей между количественными переменными используются коэффициент корреляции (или то же самое "коэффициент корреляции Пирсона") и корреляционное отношение.
Пусть при проведении некоторого опыта наблюдаются две случайные величины X и Y, причем одно и то же значение x встречается n_{х}раз, у - n_{у} раз, одна и та же пара чисел (х, у) наблюдается n_{ху} раз. Все данные записываются в виде таблицы, которую называют корреляционной.
Выборочная ковариация k(X, Y) величин X и Y
Корреляционный анализ. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
Рассмотрим выборку объема п, извлеченную из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (X, Y). Вычислим выборочный коэффициент корреляции rB. Пусть он оказался не равным нулю. Это еще не означает, что и коэффициент корреляции генеральной совокупности не равен нулю. Поэтому при заданном уровне значимости ? возникает необходимость проверки нулевой гипотезы Н0: rг = 0 о равенстве нулю гене-рального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н1: rг ? 0. Таким образом, при принятии нулевой гипотезы Х и Y некоррелированы, то есть не связаны линейной зависимостью, а при отклонении Н0 они коррелированы.
На практике часто наблюдают не один, а два взаимосвязанных между собой признака. Например: температура воздуха и скорость ветра, высота и толщина стволов деревьев, количество выпавших осадков и число солнечных дней, взаимосвязь между индивидуально-психологическими характеристиками личности и стилем их поведения и т. д. между этими показателями существуют определенные взаимосвязи. Значение средней величины одного признака изменяется при изменении другого признака.
Различают два типа зависимостей: функциональную и стохастическую.
При функциональной связи каждой независимой переменной х соответствует вполне определенное значение зависимой переменной у.
Когда определенному значению независимого признака х соответствует несколько значений другого признака у, зависимость приобретает стохастический характер. Взаимосвязи между варьирующими признаками называется корреляцией.
В теории корреляция решаются две основные задачи: 1)определяют зависимость между случайными величинами в виде формулы; 2)определяют силу и тесноту этой зависимости.
Корреляцию подразделяют по направлению, форме и числу связей.
I. По направлению корреляция может быть прямой и обратной.
При прямой корреляции с увеличением значения признака х увеличивается значение признака у. При обратной корреляции с увеличением значения признака х, значение признака у уменьшается.
II.По форме корреляция бывает линейной и криволинейной.
Линейная корреляция имеет место, когда с увеличением признака х соответственно увеличивается признак у.
При криволинейной корреляции значение х и у изменяется сначала в одном направлении, затем в противоположном.
III. По числу связей корреляция бывает простой, (когда имеется связь между двумя признаками) и множественной (имеется связь трех и более признаков.
IV. По силе связи корреляция бывает сильной, средней и слабой.
Если некоторые пары чисел повторяются, можно составить корреляционную таблицу – такую таблицу, в которой результаты наблюдений записываются в порядке возрастания с указанием частот.
Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:
1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.
2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.
3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.
По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе – сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.