Под множеством понимается любая совокупность некоторых объектов. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами, а элементы - маленькими.
То что элемент a принадлежит множеству A (то есть является элементом множества A) записывают так a?A, а то что элемент b не принадлежит множеству A (не является его элементом) записывают так b?A.
Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом ?.
Запись A?B (A содержится в B) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B; в этом случае множество A называется подмножеством множества B. Множества A и B называют равными (A=B), если A?B и B?A.
Существует два основных способа задания (описания) множеств.
а) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1,a2,...,an, то есть записывается в виде
A={a1,a2,...,an}.
Например множество простых чисел от 10 до 20 можно записать так: {11,13,17,19}.
б) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T, которые обладают общим свойством ?. В этом случае используется обозначение
A={x?T|?(x)},
где запись ?(x) означает, что элемент x обладает свойством ?.
Например [0,1)={x?R|0?x<1}.
Объеденением множеств A и B называется множество
A?B={x|(x?A)?(x?B)}
Пересечением множеств и называется множество
A?B={x|(x?A)?(x?B)}
Операции объеденения и пересечения обладают следующими свойствами:
1) коммутативности
A?B=B?A;A?B=B?A;
2) ассоциативности
A?(B?C)=(A?B)?C;(A?B)?C=A?(B?C);
3) дистрибутивности
(A?B)?C=(A?C)?(B?C);(A?B)?C=(A?C)?(B?C);
4) идемпотентности
A?A=A;A?A=A.
Множество, стостоящее из всех элементов множества A, не принаждлежащих множеству B, называется разностью множеств A и B:
A?B={x|(x?A)?(x?B)}.
Если A?B , то B?A называют дополнением множества A до множства B:A?B.
Если, в частности, A? подмножество некоторого универсального множества U, то разность U?A обозначается символом A¯¯¯¯ или A? и называется дополнением множества A (до множества U).
Из определения дополнения множества следуют равенства
A?A?=U;A?A?=?,(A?)?=A.
Симметрической разностью множеств A и B называют множество A?B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств A или B, то есть
A?B=(A?B)?(B?A).
Для любых подмножеств A и B множества U справедливы следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами де Моргана:
(A?B)?=A??B?;(A?B)?=A??B?.
Примеры:
Доказать справдливость равенств
1) (A?B)?=A??B?
Доказательство.
x?(A?B)??x?(A?B)?x?A?x?B? x?A??x?B??
x?(A??B?)?(A?B)?=A??B?.