Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
где a, b, c, d, e, f - вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ? 0 .
Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:
инварианты относительно поворота и сдвига системы координат
инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант)
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой
Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой.
Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.
Доказано, что кривая 2-го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.
Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат.
1.1 Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.
Если эллипс описывается каноническим уравнением
где a > 0 , b > 0, a > b > 0 - большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (?c, 0) и ( c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 ? фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
1.2 Гипербола
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
где a > 0, b > 0 - параметры гиперболы.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается.
1.3 Парабола
Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
y2 = 2 px
Где p > 0 - параметр параболы.
Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат - её вершиной.
2. Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
Теоремма Паскамля - теорема проективной геометрии, которая гласит, что:
Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.
Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:
Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.
В частности, в вырожденном случае:
Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.
Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.