Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные и разностные уравнения

Контрольные вопросы по предмету

0


Подпишитесь на бесплатную рассылку видео-курсов:

Смотреть лекцию по частям


Текст видеолекции

Дифференциальные и разностные уравнения

 

Лекция 1

 

Тема лекции: «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка»

 

 

  1. 1.      Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями.

 

 

  1. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

 

 

  1. 3.      Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли. 

 

  1. ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИКЕ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ.

 

1.1.            Понятие о дифференциальном уравнении.

 

Дифференциальным уравнением называется следующее соотношение

 

F(x, у, у',..., у(n)) = С,                      (1)

 

 

связывающее значения независимого переменного х, искомой функции у = у(х) и ее производных до некоторого порядка n ≥ 1.

 

Порядок n старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Подразумевается, что в уравнении  (1)  значения у, у', …,   берутся при одном и том же значении х.

 

Решением уравнения (1) называется функция, определенная  на некотором интервале (или отрезке), имеющая производные до порядка n и удовлетворяющая этому уравнению. То есть при подстановке этой функции в  уравнение (1), уравнение выполняется тождественно на данном интервале.

 

Если искомая функция зависит от нескольких переменных,  и в уравнение входят ее частные производные, то уравнение называется уравнением с частными производными. Такие уравнения на этой лекции не рассматриваются.

 

В отличие от уравнений с частными производными, уравнение (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

 

Примеры показывают, что дифференциальное уравнение, вообще говоря, имеет много решений.

 

 

Так, уравнению y' - 2х = 0 удовлетворяет функция у = х2 + C при любом постоянном C.

 

Если же в задаче, которая привела к дифференциальному уравнению, ищется единственное решение, то должно быть задано и начальное условие, то есть значение искомой функции при каком-то значении х. Например, задание начального условия у(1) = 5 позволяет найти C, при котором решение у = х2 + C уравнения у' - 2х = 0 удовлетворяет этому условию: у = 5 при х = 1, то есть 12 + C = 5, C = 4.

 

В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что  если f(x,y) и  ∂f/∂y непрерывны в области D, то для любой точки (x0, у0) Є D существует единственное решение уравнения y' = f(x,y) с начальным условием у(х0) = у0.

Для уравнения n-го порядка у(n) = f(x, у, у', ..., у(n-1)) нужны n начальных условий

у(x0) = y0, у'(x0) = y'0, ..., у(n-1)(x0) = y(n-1)0.

 

Первые примеры применения дифференциальных уравнений для решения геометрических и физических задач дали Ньютон и Лейбниц.

 

Отметим некоторые области применения дифференциальных уравнений. Это системы автоматического управления; расчет движения ракет, спутников и небесных тел; расчет токов в сложных электрических цепях; динамика механических и физических процессов в технике; кинетика химических реакций; отдельные вопросы  биологии.

 

 

1.2.            Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

 

Задачи, решаемые экономической наукой и практикой, делятся,  в зависимости от учета фактора времени, на статические и  динамические. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту или периоду времени, без учета  изменения их параметров во времени. В динамических задачах отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязи во времени. Например, динамика инвестиций  определяет динамику величин основного капитала, что в свою очередь является важнейшим фактором изменения объема выпуска.

 

Время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное  время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени.

 

Для дискретного времени может использоваться аппарат  разностных уравнений. Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют как  в Непрерывном, так и в дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть получены, как правило, аналогичные результаты, и уровень сложности самих моделей примерно одинаков.

 

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при  отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под  воздействием внешних сил.

 

Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия и опишем движение такой системы в  непрерывном случае.  Покажем, что динамика  системы описывается с помощью дифференциального уравнения.

 

Дифференциальное уравнение связывает изменения показателя (пусть наша система описывается одним показателем x(t), или  просто х) со скоростью его движения х't, или  ? Будем считать, что скорость изменения показателя x: пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения xE. Иными словами, чем дальше показатель отклонился от равновесного значения, тем быстрее он стремится вернуться к нему. Если в уравнении присутствует только первая производная x по времени, а сама связь линейна, то это линейное дифференциальное уравнение. Пусть оно имеет,  например, следующий вид:

 

x't  = k(x  – xE),

 

где k – некоторый  коэффициент. В этом уравнении kxE – свободный член; без него уравнение будет иметь вид:

x't  = кx,

 

это уравнение называется однородным и его общее решение x = С ekt.

 

Исходное неоднородное уравнение имеет частное решение x = xE  (если величина x находится в состоянии равновесия), а общее его решение есть сумма любого частного решения и общего  решения однородного уравнения, то есть х = xE+ c ekt.  Учитывая, что при

t = 0 величина x равна x(0), получаем  C = x(0) — xE .

Тогда  

 

x(t) = xE + (x(0) — xE)ekt. 

 

1.3.            Модель установления равновесной цены.

 

В модели рассматривается рынок одного товара, время t считается непрерывным, спрос d и предложение s линейно зависят от цены:

 

d = a — bp,       s = α + βp,

 

где

a> α,  a>0, b>0, α >0, β>0.

 

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

 

?p = γ (d – s)?t,  где γ > 0.

 

То есть в случае действительного превышения спроса над предложением цена возрастает, в противном случае — падает.

 

Из основного предположения модели вытекает следующее дифференциальное уравнение для цены:

 

(1/γ) dp/dt + (b+β) p= (a – α),

 

и  p(0) = p0.

 

т.е. процесс описывается  линейным дифференциальным уравнением первого порядка.  

 

Равновесная цена pE = (a – α)/(b+β) (точка пересечения прямых спроса и предложения). 

 

1.4.            Модель освоения введенных производственных мощностей.

 

Обозначим через х (х = const) введенную производственную мощность, а через y(t) — фактическое производство на базе этой мощности в момент времени t (фактическое использование мощности, y(t) < x).

 

Сделав предположение, что прирост производства пропорционален недоиспользованной мощности:

 

?у = у(x  –  у)?t,

 

приходим к линейному дифференциальному уравнению:

 

T (dy/dt) + у = х ,                          (2)

 

где T = 1/y, у(0) = у0 , у0 <х.

 

В соответствии с теорией линейных дифференциальных уравнений общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

 

Общее решение однородного уравнения 

 

T(dy/dt) + y = 0                     (3)

 

имеет вид:

y = C eλt

 

Подставив его в (3), получим:

 

(Tλ+1)y = 0.

 

Но y ≠ 0,  поэтому приходим к характеристическому уравнению (относительно x):

 

Tλ+1 = 0,

 

Отсюда  λ= (-1/T).

 

Поскольку частным решением неоднородного уравнения (2)  является у = х, то общее решение этого уравнения примет вид:

 

y = x + C e-t/T

 

Константу C находим из начального условия:

 

y(0) = x + C= y0, C = y0 – x.

 

Поэтому окончательно имеем

 

y (t) = x +  (y0  – x) e-t/T.

 

Переходный процесс освоения производственных мощностей, описываемый этим решением, завершается выходом на заданный  размер мощности

 

lim y(t) = х.

t—>∞

 

При y0 = 0 решение примет вид:

 

y (t) = x(1 — e-t/T).

  1. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

 

Рассмотрим основные классы дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решения могут быть найдены с помощью тождественных преобразований данного уравнения и замен переменных.

 

Уравнения вида F(x,y, y') = 0 требуют теоретического исследования и на этой лекции рассматриваться не  будут.

 

 

2.1.                       Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

 

Они могут быть записаны в следующем виде

 

y' = f(x) g(y).                       (4)

 

Предполагаем, что функции f и g непрерывны.

 

Если g(y) = 0 при у = у1, у = у2,..., то функции у(х) = у1, у(x) = y2, … ,  являются решениями.

 

В окрестности каждой точки, где g(у) ≠ 0, разделим обе части уравнения (4) на g(y) и проинтегрируем по x обе части уравнения:

 

y'/g(y) = f(x),

 

 ∫y'dx/g(y) = ∫f(x)dx + C,

 

            ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + C.         (5)

 

Неопределенный интеграл здесь означает любую первообразную функцию, то есть такую функцию, производная от которой равны подынтегральной функции. Если две функции равны, то интегралы  от них могут отличаться на любую постоянную, то есть  в (3) C — произвольная постоянная.

 

Обозначив интегралы в (5) через H(у) и F(x), получаем решение уравнения (4) в неявном виде: Н(у) = F(x) + C.

 

На любом интервале, где g(у) ≠ 0, функция g(y) сохраняет знак, значит, функция Н(у) строго монотонна, непрерывна и имеет обратную функцию H-1. Поэтому решение можно записать и в виде у = H-1(F(x) + C).

 

Решение, удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0, в случае g(у0) = 0 есть у(х) = у0. В случае g(у0) ≠ 0  на интервале,  где g(у) ≠ 0, из (5) получаем решение у(x) в виде:

 

∫{y0 y(x)} dy/g(y) = ∫ {x0 x} f(x*)dx*         (6)

 

ЗАМЕЧАНИЕ.  

 

Предположим, что g(у0) = 0, f(x0) ≠ 0, и что на  некотором интервале y0 < y < y1 (или y1 < y < у0) имеем  g(у) ≠ 0,  и левый интеграл в (6) имеет конечное значение, то есть сходится. Тогда можно показать, что на некотором отрезке x0  ≤ x  ≤ x1 (или x1  ≤ x  ≤  x0) формула (6) также определяет решение уравнения (4). Условию у(х0) = у0 удовлетворяют и решение (6), и решение у(x) = y0.

 

ПРИМЕР 1.

 

Решить уравнение у' = Зу2/3. 

 

РЕШЕНИЕ.

 

Правая часть равна нулю при у = 0, поэтому  у(х) = 0 — решение. Чтобы найти другие решения, делим обе  части уравнения на Зу2/3 и интегрируем:

 

у' /Зу2/3 = 1,

 

∫dу /Зу2/3 = ∫ 1 dx + C, 

 

у1/3 = x+ C,

 

y = (x+ C)(7)

 

Через любую точку (х0,0) оси Ох проходит решение у(х) = 0 и решение у = (х — x0)3, полученное из (7).

 

Имеются также решения, составленные из двух или трех кусков названных выше решений (например, АВх, NB3C3, ABB2C2 и т. п.). Такие составные функции являются решениями, так как они всюду имеют производную (в точке стыка правая производная равна левой) и всюду удовлетворяют данному уравнению.

 

Уравнения вида

у' = f(ax + by + c)

 

приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой

 

z = ах + by + с,   где z = z(x).

 

Тогда z' = a + by'.

 

Следовательно,

 

z' = a + b f(z).

 

Это —  уравнение с разделяющимися переменными.

 

2.2.                       Уравнения в дифференциалах.

 

Уравнение в дифференциалах записывается в виде:

 

М(х, у) dx + N(x, y) dy = 0,             (8)

 

 

где M и N — известные функции. Здесь считается, что любую из величин х и  у можно назвать искомой функцией, а другую — независимым переменным. Решениями уравнения (8) называются решения хотя бы одного из следующих уравнений:

 

dy/dx = - M(x,y)/N(x,y) ,

 

 

dx/dy = - N(x,y)/M(x,y).

Например, уравнение

 

ydx + xdy = 0

 

можно преобразовать к любому из видов:

 

dy/dx = - y/x (а)

 

или

 

dx/dy = - x/y  (б)

 

Решениями уравнения (а) являются функции у = С1/x (С1 — любое число, включая нуль), а уравнения (б) — функции х = С2/y  (С2 — любое).

 

Функция у = 0 удовлетворяет только уравнению (а), так как для нее символ dx/dy не имеет смысла, а функция х = 0 — только уравнению (б). Все эти функции (у = С1/х, у = 0 и х = 0) называются решениями уравнения  ydx+xdy = 0.

 

2.3.                       Однородные дифференциальные уравнения.

 

Это  уравнения, которые можно записать в виде:

 

y' = f(y/x),             (9)

 

или в виде (8),  где М(х,у) и N(x, y) —  однородные функции одной и той же степени.

 

Функция М(х, у)  называется однородной функцией степени p, если для любых х, у и любого k > 0 выполняется равенство:

 

М(кх, ку) = kp M(х, у).             (10)

 

 

 

ПРИМЕРЫ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ.

 

ах + bу, 

 

ах2 +bху+су2 ,

 

(x+2y)/(3x2 — 4xy), 

 

x2sin(y/x).

 

Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой:

 

y = xz, где z = z(x);

 

Следовательно,

 

у' = xz' + z.

 

 

Однородное уравнение не меняется при одновременной замене х на kx ,  у на kу (k = const > 0), это следует из определения однородного уравнения. Поэтому каждое решение однородного уравнения при такой замене переходит в решение того же уравнения. Из этого следует геометрическое свойство: подобное преобразование х -» kx,  у -» ky с центром подобия (0,0) переводит все интегральные кривые однородного уравнения в интегральные кривые того же уравнения.

 

 

3. ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.

 

 

3.1.                       Линейные уравнения — это те, в которые у и у' входят линейно, то есть в первой степени.

 

Они приводятся к следующему виду

 

 

у' = а(х)у + b(х).  (11)

 

Чтобы решить это уравнение, сначала решаем уравнение

 

y' = а(х)у. (12)

 

Разделяя переменные, как в (5), получаем:

 

y'/y = a(x),

 

∫dy/y = ∫a(x)dx + C1,

 

ln|y|  = ∫a(x)dx + C1,

 

|y|  = eC1  φ(x),

 

где φ(x) = e∫a(x)dx.

 

Значит, у = ± eClφ(x)  = Cφ(x) — решение уравнения (12). Здесь C — любое. Значение C = 0 дает решение у = 0, которое было потеряно при делении на у.

 

Теперь ищем решение уравнения (11) методом вариации постоянных.

 

Заменяем постоянную C на пока неизвестную функцию с(х).

 

Подставляя у = с(х)φ(x)  в (11), получаем:

 

C' φ + Cφ'  = а(х)сφ  + b(х).         (13)

 

Так как у = φ(x) — решение однородного уравнения (12), то

 

Cφ' = a(x) Cφ,

 

и из (13) имеем:

 

C'φ = b(х).

 

Находим C'(x), затем C(х), и получаем решение у =  с(х)φ(x) уравнения (11).

 

 

ПРИМЕР 2.

 

Решим следующее линейное дифференциальное уравнение

 

xy' = 2y - 2x4.

 

РЕШЕНИЕ.

 

Решаем сначала уравнение ху' = 2у. Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

 

y'/y = 2/x,

 

∫dy/y = ∫2dx/x + C1 ,

 

ln|y|  = ∫2dx/x + C1 ,

 

ln|y| = 2ln|x| + C1 ,

 

Отсюда имеем:  

у = ±eCl x2 = Cx2.

 

Теперь ищем решение исходного уравнения в виде у = с(x)x2. Подставляя в исходное уравнение,  получаем:

 

x3 C'+ C•2x2 = 2Cх2 - 2x4,     C' = -2x.

 

 

Отсюда,

с(x) = -x2 + C2,

и

у = C(x)x2 = -x4 + C2x2 — искомое решение.

 

3.2.                       Уравнения Бернулли.

 

Уравнения Бернулли — это те, которые можно записать в виде

 

y' = а(х)у + b(х)уα . (14)

 

где α ≠ 0,  α ≠ 1.

 

При α = 0 и  α = 1  это уравнение — линейное.

 

Чтобы решить  уравнение (14), надо обе его части разделить на уα  :

 

уα y' = а(х)у1-α + b(х) .

 

и ввести новую искомую функцию z = у1-α . Тогда

 

z' = (1 - α) у--- α y' ,

 

и уравнение сводится к линейному

 

z'/ (1 - α) = a(x)z + b(x).

Это уравнение решается методом, изложенным нами выше в п. 3.1.

 

Надо помнить, что при делении на уα  в случае α > 0 теряется решение у = 0.

 

 

3.3.                       Уравнение в полных дифференциалах.

 

Уравнение в полных дифференциалах — это такое уравнение вида (8), левая часть которого есть полный дифференциал от некоторой функции F(x,y). Предполагаем, что функции  M,N, M'y N'x непрерывны.

 

Для существования такой функции F(x, y) необходимо, чтобы M' = N'x .

 

В самом деле, dF(x,y) = F'x dx + F'y dy;

 

Чтобы  это равнялось Мdх + Ndy  надо, чтобы выполнялись равенства:

 

M = F'x , N = F'y .

 

Но тогда

 

M' =F''xy   =F''yx   =N'x .

 

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда функции M и N рассматриваются в односвязной области, то есть в области без «дыр», условие M' = N'x

является и достаточным, и функция F(x, y) выражается с помощью криволинейного интеграла.

 

Излагаемый ниже более простой способ отыскания функции F(x,y) можно применять в любой области, но иногда он дает непрерывную функцию F(x, y) лишь в части области.

 

Проверяем, что M' = N'x  . Из уравнения F'x = M получаем

 

F(x,  у) = ∫ М(х, у) dx +  φ(y). (15)

 

Производная F'x  — частная, она берется при постоянном у,  поэтому у считается постоянным при интегрировании по х.

 

Функция (15) удовлетворяет уравнению  F'x = M при любой функции φ(y).  Найдем φ(y), подставляя выражение (13) в уравнение   F'y = N.

 

Замечание. Если при отыскании  φ(y)  окажется, что  φ'(y) зависит и от х, то или условие M' = N'x   не выполнено, или допущена иная ошибка.

 

С найденной функцией φ(y)  формула (15) дает функцию F(x, у).

 

Данное уравнение (8) запишется в виде

dF(x,y) = 0.

 

Функция у(х) будет решением уравнения (8), если

 

М(х, у) + N(x,y) y' = 0.

 

То есть (так как M = F'x , N = F'y ), если

 

d/dx (F(x, y(x)) = 0,  F(x, y(x)) = C = const.

 

Аналогично, функция х(у) — решение уравнения (8), если

 

F(x(y), y) = C.

 

Таким образом, решения уравнения (8) — это функции у(х) или х(у), определяемые равенством F(x, y) = C.

 

Например, для рассмотренного ранее  уравнения  

 

ydx+xdy =0

 

имеем

 

F(x, у) = ху.

 

 Решения уравнения — функции у(х) или х(у), определяемые формулой ху = С.

 

3.4.                       Интегрирующий множитель.

 

Интегрирующим множителем для данного уравнения вида (8)

 

М(х, у) dx + N(x, y) dy = 0,

 

называется функция m(х, у), после умножения на которую, данное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах.

 

Задача отыскания интегрирующего множителя в общем случае столь же трудная, как и задача решения данного уравнения. Приемы, позволяющих в некоторых случаях отыскать такой множитель, на этой лекции мы не изучаем.

 

Иногда в записи данного дифференциального уравнения можно выделить такую функцию p(х, у),  которая входит в уравнение несколько раз, например, входит и p(х, у)   и дифференциал dp(x, у). Тогда в уравнении можно сделать замену р(х, у) = z, при этом одну из старых переменных х и у надо выразить через  другую и через z. В ряде случаев это позволяет упростить или  решить уравнение.

 

Рассмотренные выше типы уравнений не охватывают всех уравнений вида у' = f(x,у), решаемых элементарными методами. Много уравнений, допускающих элементарные решения, имеется в справочниках.  Большинство из них или принадлежит к рассмотренным выше типам уравнений, или сводится к ним заменами переменных.

 

Однако произвольно написанное уравнение вида у' = f(x, у), если оно не из самых простых, чаще всего не удается решить с помощью элементарных приемов.

 

Лиувилль показал, что даже среди простых уравнений имеются такие, как например у' = у2 + х,  ни одно решение которых не выражается через элементарные функции с помощью конечного числа элементарных действий и операций взятия неопределенного интеграла.

 

Современные ЭВМ позволяют вычислить решение конкретного уравнения с большой точностью. Но прежде, чем их применять, надо знать, что решение существует, и знать те свойства решений, которые надо учитывать при вычислениях на ЭВМ.

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

[1] Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. —

 368 с.

 

[2] Колемаев В. А.  Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

 

[3] Филиппов А. Ф.  Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. — 240 с.

 

[4] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.