Балансовые модели

Основы математического моделирования

социально-экономических процессов

 

Лекция 4

Тема лекции: «Балансовые модели»

 

1. Балансовый метод.

2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

3. Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей.  Динамическая межотраслевая балансовая модель.

 

1. БАЛАНСОВЫЙ МЕТОД.

 

1.1.             Балансовые модели. 

 

Балансовые модели, как статистические, так и динамиче­ские, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В осно­ве создания этих моделей лежит балансовый метод, т.е. ме­тод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

 

Если описывать экономическую систему в целом, то под БАЛАНСОВОЙ МОДЕЛЬЮ ПОНИМАЕТСЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ, КАЖДОЕ ИЗ КОТОРЫХ ВЫРАЖАЕТ ТРЕБОВАНИЕ БАЛАНСА МЕЖДУ ПРОИЗВОДИМЫМ ОТДЕЛЬНЫМИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ КОЛИЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ И СОВОКУПНОЙ ПОТРЕБНОСТЬЮ В ЭТОЙ ПРОДУКЦИИ.

 

При таком подходе рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый про­дукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта.

 

Если вместо понятия продукт ввести более общее понятие ресурс, то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использо­вания.

 

Кроме приведенного выше требования соответствия производства каждого продукта и потребности в нем, можно указать такие примеры балансового соответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т. д.

 

При этом соответствие понимается либо как равенство, либо менее жестко — как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие неко­торого резерва.

ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ БАЛАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ:

 

1)     частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;

2)     межотраслевые балансы;

3)     матричные  техпромфинпланы  предприятий и фирм.

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансо­вые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчетных балансов характеризуют сложившиеся про­порции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. Для выявления диспропорций используются балансовые модели, в которых фактические ресурсы сопоставлялись бы не с их фактическим потреблением, а с потребностью в них. В связи с этим необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения отдельных вари­антов экономических решений и не предусматривают взаи­мозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической сис­темы. Этим определяется ограниченность балансовых моде­лей и балансового метода в целом.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресур­сов по конкретным направлениям их использования. Напри­мер, в модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая матрица — таблица меж­отраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нор­мативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть ис­пользованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой. Так, при построении модели межот­раслевого баланса используется специфическое понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта незави­симо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от хозяй­ственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например, агрегирования отраслей, исключения внутриотрас­левого оборота и др. В этих условиях понятия «межпродук­товый баланс» и «межотраслевой баланс» практически иден­тичны, отличие заключается лишь в единицах измерения эле­ментов баланса.

Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц — прямоугольных таблиц чисел. В связи с этим балансовые модели относятся к тому типу экономи­ко-математических моделей, которые называются матричными. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение. Таким образом, мат­ричную структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий и фирм. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единство системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, со­держание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве. Данный баланс отражает производство и распределение общественного продукта в отраслевом разрезе, меж­отраслевые производственные связи, использование материаль­ных и трудовых ресурсов, создание и распределение нацио­нального дохода.

 

1.2.             Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ).

 

Принципиальная схема межотраслевого баланса произ­водства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в следующей таблице (рис. 1). В основу этой схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; все народное хозяйство представлено в виде совокупности n отраслей (имеются в виду чистые отрасли), при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.

 

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	…	n
1	x11	x12	…	x1n	Y1	X1
2	x21	x22	…	x2n	Y2	X2
…	…	…	I	…	…	…
…	…	…	…	…	II
n	xn1	xn2	…	xnn	Yn	Xn
Амортизация	c1	C2	…	cn
Оплата труда	v1	v2	III	vn	IV
Чистый доход	m1	m2	…	mn
Валовой продукт	X1	X2	…	Xn		∑Xi = ∑Xj

Рис. 1. Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ)

Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных состав­ных частей.

 

Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

Первый квадрант МОБ — это таб­лица межотраслевых материальных связей. Показатели, по­мещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются x_ij, где i и j — соответственно номера отраслей производящих и потребляющих.

 

Например, величина x₃₂ понимается как стоимость средств производства, произ­веденных в отрасли с номером 3 и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли с номером 2.

 

Таким образом, первый квадрант I по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во втором квадранте  представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потреб­ление и накопление). В таблице этот раздел дан укрупненно в виде одного столбца величин Y_i ; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан дифферен­цированно по направлениям использования на личное потреб­ление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др.

 

Итак, второй квадрант II харак­теризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде — также распределение нацио­нального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслям производства и потребителям.

Третий квадрант III МОБ также характеризует на­циональный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей.

 

Сумму амортизации (c_j) и чистой продукции (v_j + m_j) некоторой j-й отрасли будем называть условно чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дальнейшем Z_j.

Четвертый квадрант баланса находится на пере­сечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции).  Этим определяется содержание квадранта: четвертый квадрант IV отражает конечное распределение и использование национального дохода.

 

В ре­зультате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, пред­приятий, государства. Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капитало­вложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Более детально составляющие элементы этого квадранта на данной лекции не рассматриваются, однако очень важным является тот факт, что общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Таким образом, в целом межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый, баланс доходов и расходов населения. Следует особо отметить, что хотя ва­ловая продукция отраслей не входит в рассмотренные вы­ше четыре квадранта, она представлена на принципиальной схеме МОБ в двух местах в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замы­кают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов (т.е. проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

 

Если, как показано на схеме, обозначить валовой продукт некоторой отрасли буквой X с нижним индексом, равным номеру данной отрасли, то можно записать два важнейших соотношения, отражающих сущ­ность МОБ и являющихся основой его экономико-математической модели.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

 

 

Напомним, что величина условно чистой продукции Zj  равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли.

 

Соотношение (1) представляет собой систему из n уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

 

Формула (2) является записью системы из n уравнений, кото­рые называются УРАВНЕНИЯМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДУКЦИИ ОТ­РАСЛЕЙ МАТЕРИАЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ.

Просуммируем по всем отраслям левые и правые части уравнений системы (1), в ре­зультате получим:

 

 

Аналогичное суммирование левых и правых частей уравнений системы (2) дает:

 

 

Левые части обоих равенств (3), (4) равны, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна сумме всех элементов a_ij первого квадранта. Следовательно, должно соблю­даться соотношение

 

 

Левая часть уравнения (5) есть сумма всех элементов Z_j третьего квад­ранта, а правая часть – сумма всех элементов Y_i второго квадранта. В целом же уравнение (5) показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (модель Леонтьева).  

 

2.1. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

 

Выше отмечено, что основу информационного обеспече­ния модели межотраслевого баланса составляет технологи­ческая матрица, содержащая коэффициенты прямых мате­риальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса.

 

Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное a_ij. Оно не зависит от объема производ­ства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени.

 

Величины аij называются коэффициентами пря­мых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

aij = xij/Xj,   i, j, = 1, …, n.  (6)

Определение 1. Коэффициент прямых материальных за­трат aij  показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

 Учитывая формулу (6),  систему уравнений баланса (2) можно записать в следующем виде:

 

 

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов пря­мых материальных затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X, вектор-столбец конечной продукции Y:

 

 

то система уравнений (7) в матричной форме примет вид:

X=AX + Y.             (8)

Система уравнений (7), или в матричной форме (8), называется ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЬЮ МЕЖОТРАС­ЛЕВОГО БАЛАНСА (моделью Леонтьева, моделью «затраты – выпуск»).

 

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1)     Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной про­дукции каждой отрасли (Yj):

Y = (E – A)X.         (9) 

2)     Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yj), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X = (E – A)^–1 Y.  (10)

3)     Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (8), а системой линейных уравнений (7).

В формулах (9) и (10) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (E – A)^–1 обозначает матрицу, обратную к матрице (E – A).

 

Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней  матрица существует.  Обозначим эту обратную матрицу через B = (E – A)^–1. Тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде:

X = BY.      (10`)

Элементы матрицы B будем обозначать через b_ij.  Тогда из матричного уравнения (10) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

 

 

Из соотношений (11) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной про­дукции, причем весами являются коэффициенты b_ij,  которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования еди­ницы продукции j-й отрасли.

 

В отличие от коэффициентов прямых затрат а_ij коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают как прямые, так и косвенные затраты все порядков.

 

Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Более детально этот вопрос рассматривается ниже.

Определение 2. Коэффициент полных материальных за­трат b_ij  показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно приме­нять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

где ?Xi и ?Yj – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

На этой лекции на ряде простых примеров мы покажем, как можно определить эффективность производства экономической системы по имеющейся количественной информации об объеме необходимых затрат, неизбежно сопровождающих всякое производство.

2.2. Свойства технологических (продуктивных) матриц.

Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, мы рассмотрим основные свойства мат­рицы коэффициентов прямых материальных затрат А.

 

 

 

 

Коэффициенты прямых затрат a_ij по определению являются неотри­цательными, следовательно, матрица A  является неотрицательной: А ≥ 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собствен­ного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее коли­чество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональ­ные элементы матрицы A меньше единицы: a_ii < 1.

Определение 3. Неотрицательная матрица A  = (a_ij) ≥ 0, составленная из коэффициентов прямых материальных затрат a_ij, называется матрицей материальных затрат (или технологической матрицей).

ЗАМЕЧАНИЕ. Матрица A дает информацию о сложившейся структуре межотраслевых связей, о существующей технологии общественного производства и используется в текущем и долгосрочном планировании.

Будем считать дополнительно, что сложившаяся технология неизменна (стационарна) и что производство линейно. Последнее означает, что если для выпуска единицы продукции j-й отрасли требуется аij единиц продукции i-й отрасли, то для выпуска Xj единиц продукции j-й отрасли  необходимо aijXj единиц продукции i-й отрасли.

 

Система уравнений межотраслевого баланса является от­ражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков. Таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонент X_j ≥ 0 и является неотрицательным: X ≥ 0.

 

Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы ко­эффициентов прямых материальных затрат (технологической матрицы) A.

Определение 4. Будем называть неотрицательную матрицу A ≥ 0 продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, что

 

Х > АХ.        (13) 

Очевидно, что условие (13) означает существование по­ложительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса (8). 

Предположим, что за некоторый отрезок времени, фиксированный во всех дальнейших рассмотрениях (неделя, месяц, квартал или год), каждая j-я отрасль произвела Xj единиц валовой продукции.  Тогда рассмотрим вектор-столбец X валовой продукции:

 

 

 

Назовем  вектор-столбец  X  столбцом выпуска или режимом работы отраслей.

При заданном столбце выпуска X совокупные затраты продукции i-й отрасли в рассматриваемой производственной сфере равны

 

 

 

Из этих величин составляется столбец совокупных материальных затрат в сфере производства:

 

 

Таким образом, матрица материальных затрат A  ≥ 0  называется продуктивной, если найдется такой столбец выпуска X > 0, для которого выполняется неравенство:  AX < X.

 

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором каждого продукта выпускается больше, чем затрачивается на его производство.

 

Другими словами, при этом режиме сфера производства создает положительный столбец прибавочного (конечного) продукта:   X – AX > 0.

Возникает естественный вопрос: как следует поступить, чтобы сравнительно несложным путем и как можно раньше выяснить, является ли предъявленная матрица материальных затрат исследуемой сферы производства продуктивной или, напротив, производство убыточно и совокупные материальные затраты превышают объем выпуска?

Справедлив следующий общий факт.

ТЕОРЕМА.

Для любой неотрицательной квадратной матрицы A ≥ 0  формулируемые ниже условия равносильны.

(1) Матрица A продуктивна.

(2) Для любого столбца Y > 0 существует, и притом ровно один, столбец выпуска X > 0 такой, что    X – AX = Y.

 

(3) Столбца выпуска X > 0, совокупные затраты на создание которого удовлетворяют условию AX ≥ X не существует.

(4) Наибольшее собственное значение матрицы A удовлетворяет неравенству

λ_A = λ_max <1.

 

Сказанное выше означает, что при выполнении хотя бы одного из этих условий выполняются и три остальных. В частности, выполнение неравенства λ_A <1 позволяет утверждать, что матрица продуктивна.

В приводимых ниже примерах мы ограничимся рассмотрением случая, когда n = 2, т. е. сфера производства экономической системы состоит из двух отраслей.

ПРИМЕР 1. Для ответа на вопрос, является ли матрица

 

 

 

продуктивной, найдем ее собственные значения.

 

Имеем:

 

(1/3 - λ)(1/4 - λ) = 1/24.

 

Откуда

 

λ² – 7 λ /12 + 1/24 = 0.

 

Корни этого уравнения легко вычисляются по формуле корней квадратного уравнения:

λ_1,2 = 7/24 ± 5/24;

 

и окончательно

λ₁ = 1/2, λ₂ = 1/12.

 

Тем самым, λ₁  = λ_max = 1/2 < 1.

 

Ответ: матрица A продуктивна.

Из той же теоремы вытекает, что если матрица материальных затрат A продуктивна, то любой столбец прибавочного продукта Y может быть произведен при соответствующем режиме работы отраслей X.

Итак, пусть матрица

 

продуктивна,  и

 

– столбец конечного продукта. Покажем, как найти режим работы отраслей X, обеспечивающий этот продукт.

Запишем матричное равенство

X – AX = Y

более подробно:

 

 

После перемножения и вычитания окончательно получим

 

 

Для продуктивной матрицы построенная система

 

 

 

имеет решение при любых Y₁, Y₂.

 

Рассмотрим конкретный пример.

ПРИМЕР 2.

 

Пусть как было установлено в примере 1, матрица A продуктивна,

 

 

и потому система

 

 

имеет решение (то есть всегда совместна).

 

После простых преобразований получаем:

 

 

и далее, умножая первое уравнение на 3/2 и складывая со вторым,  получим:

 

(1 – 1/12)X₁ = 11,  X₁ = 12.

 

Подобным же образом, умножая первое уравнение на 1/8  и складывая со вторым,   находим значение второй неизвестной:

 

(3/4 – 1/16)X₂ =  5 + 1/2, 11X₂/16 = 11/2, X₂ = 8.

 

Таким образом, для того чтобы обеспечить прибавочный продукт

 

необходимо, чтобы столбец выпуска X был равен

 

 

 

2.3.  Матрицы коэффициентов полных материальных затрат.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы B = (E – A)^–1.

 

Используя матрицу B, сформулируем признаки продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат A (технологической матрицы).

 

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материаль­ных затрат A была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1.  Матрица (E – A)  неотрицательно обратима,   то есть существует обратная матрица (E – A)^–1 > 0;

2. Матричный ряд E +  А + А² + А³ + ...=  ∑A^k сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E – A)^–1:

 

 

3. Наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы  A (то есть решение характеристического уравнения |A – λE| = 0) строго меньше единицы;

4. Все главные миноры матрицы (E – A), т.е. определите­ли матриц, образованные элементами первых строк и пер­вых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком про­дуктивности матрицы A является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы A в каждом столбце. Если норма матрицы A строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица A может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

 

Наибольший по модулю корень характеристического урав­нения, приведенного в признаке 3) продуктивности матрицы A (обозначим его  λ*), может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а сле­довательно, величина  (1 – λ*)  характеризует остаток после за­трат, т.е. продуктивность. Чем больше (1 – λ*), тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего про­изводственного потребления.

 

Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы A, тем больше наибольшее по модулю собственное значение λ* и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэф­фициентов матрицы A, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.

Согласно определению 2, введенному выше,  коэффициент b_ij  матрицы B показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Дадим другое определение коэффициента полных мате­риальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли.

 

Рассмотрим в каче­стве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами; те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка;  а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут назы­ваться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т.д.

 

В связи со сказанным выше имеет место следующее определение.

Определение 5. Коэффициентом полных материальных затрат c_ij называется сумма прямых затрат и косвенных за­трат продукции i-й отрасли для производства единицы про­дукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

 

Если коэффициент косвенных материальных затрат k-ro порядка обозначить через aij^(k),   то имеет место формула:

cij = aij + aij⁽¹⁾ + aij⁽²⁾ + … +  aij^(k) + … . (14)

 

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов пол­ных материальных затрат C = (cij) и матрицы коэффициен­тов косвенных материальных затрат различных порядков A^(k) = (aij^(k)),  то формулу (14) для элементов этих матриц, можно запи­сать в более общем матричном виде:

С = А + А ⁽¹⁾ + А ⁽²⁾ +...+А ^(k) +... ,  (15)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов кос­венных материальных затрат можно записать ряд матричных соотношений:

А ⁽¹⁾ = АА = А²;

 

А ⁽²⁾ = АА⁽¹⁾  = АА² = А³;

А^(k) = AA^(k-1) = АА^k = А^k+1.

ПРИМЕР 3.

 

Рассмотрим матрицу

 

 

Как было установлено в примере 1, матрица A продуктивна. Тогда матрица коэффициентов косвенных материальных  затрат 1-го порядка вычисляется по формуле

 

 

 

C использованием соотношений А^(k) = А^k+1 матричная формула (15) может быть переписана в следующем виде:

С = А + А² + А³ +... + А^k+1  +...   =  ∑ А^k.          (16)

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат A является продуктивной, то из условия 2)  продуктивности существует матрица B = (E – A)^–1, являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:

 

 

ИЗ СОПОСТАВЛЕНИЯ СООТНОШЕНИЙ (16) И (17) УСТАНАВ­ЛИВАЕТСЯ СЛЕДУЮЩАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ДВУМЯ МАТРИЦАМИ КОЭФФИ­ЦИЕНТОВ ПОЛНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЗАТРАТ:

 

B = E + C.

Тогда для элементов матриц B и C можно записать равенства:

bij = δij + cij ,

где δij = 0 при i ≠ j;  и  δij = 1 при i=j.    

 

То есть

 

 

Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц B и C: в отличие от коэф­фициентов матрицы C, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы B включа­ют в себя кроме затрат также саму единицу конечной про­дукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением мат­рицы коэффициентов полных материальных затрат В.

 

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат A за­дана и является продуктивной, то матрицу B можно находить либо по формулам для вычисления обратных матриц, рассматриваемым в кур­се матричной алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (17).

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В.  

 

По этому способу находят матрицу (E – A), а затем, применяя один из пря­мых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу (E – A)^–1 = B.

 

Одним из наиболее употребительных ме­тодов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении следующей фор­мулы матричной алгебры:

В = (E – A)^–1  = (E – A)^*/|E – A|    (18)

В числителе формулы (18) стоит  матрица (E – A)^*, присоединенная к матрице (E – A). Элементы присоединенной матрицы (E – A)^* представляют собой алгебраические допол­нения для элементов транспонированной матрицы (E – A)^T.  В знаменателе формулы (18)  – определитель матрицы  (E – A).

 

Алгебраиче­ские дополнения D_ij  для элемента (d_ij) с индексами i и j любой квадратной матрицы D вычисляются умножением множителя (-1)^i+j на дополнительный минор M_ij этого элемента (то есть минор, получаемый после вычеркивания из матрицы D i-й строки и j-го столбца):

 

D_ij = (-1)^i+j M_ij. 

ПРИМЕР 4. 

 

Пусть дана продуктивная матрица A, рассмотренная нами выше в примерах  1 – 3:   

 

 

 

Матрица (E – A)  имеет вид:

 

 

Определитель | E – A | = 11/24.

 

Матрица B коэффициентов полных материальных затрат будет иметь следующий вид:

 

 

 

Используя формулу (10’),  проведем проверку вычисления матрицы B:

 

 

 

При втором способе вычисления матрицы коэф­фициентов полных материальных затрат используется фор­мула (17).

 

Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы  A, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умно­жения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

2.4. Ограничения на ресурсы.

Модель Леонтьева отражает те потенциальные возможности, которые заложены в технологии производственного сектора. В этой модели предполагается, что все промежуточные продукты к тому моменту, когда они оказываются необходимыми, уже произведены. Однако в реальной ситуации нужно принимать в расчет наличие таких ограничительных факторов производства, как мощность каждой отрасли (материальные ресурсы) и общее количество рабочей силы в системе (трудовые ресурсы).

Пусть L — общее число рабочих и

l = (l₁, l₂, …, l_n)

 

— матрица-строка затрат рабочей силы: каждый ее элемент l_k > 0 показывает количество рабочих, необходимое для производства единицы продукции k-ой отрасли.

В предположении линейности производства произведение lX показывает количество рабочей силы, необходимое в сфере производства при режиме работы X. Ясно, что оно не может превосходить общего числа рабочих.

 

Ограничения на мощности отраслей можно описать при помощи столбца m, превзойти который столбец выпуска X не может: X ≤ m .

 

 

При ограниченных ресурсах уже нельзя ставить вопрос об удовлетворении любого конечного спроса Y > 0. Тем не менее,  продуктивная система может обеспечить любую структуру прибавочного продукта, т. е. соотношение между количеством прибавочных продуктов первой и второй отраслей.

ТЕОРЕМА.  

 

Пусть дана продуктивная матрица A > 0, столбцы Y > 0 и m > 0, матрица-строка l > 0 и число L > 0. Тогда задача

 

 

 

имеет, и притом ровно одно, решение.

Рассмотрим на конкретном примере, как можно решать такую задачу.

ПРИМЕР 5. Итак, даны

l = (4,4),  L = 40.

 

Начнем с решения системы X – AX = α Y,  или подробнее:

 

 

 

Это можно записать в равносильной форме:

откуда x₁ = 12α , x₂ = 8α;  или

 

 

Полученный столбец должен подчиняться условиям lX ≤ L и X ≤ m, которые в данном случае принимают вид:

 

Отсюда имеем:

 

 

Наибольшее значение α, удовлетворяющее всем трем условиям, равно 1/3.

2.5. Прибыльные матрицы.

Предположим теперь, что отрасли закупают на внутреннем рынке системы (друг у друга) продукты, которые необходимы им как средства производства. Пусть p_i > 0 — цена единицы i-го продукта.

 

Матрица-строка p = (p₁, p₂, …, p_n),  каждый элемент которой является ценой единицы соответствующего продукта, производимого системой, называется строкой цен на продукты или ценовой строкой. 

Пусть A = (a_ik) — матрица материальных затрат (технологическая матрица) системы. Тогда денежные издержки производства единицы k-гo продукта будут равны:

 

Из этих величин и складывается матрица-строка pA издержек производства:

 

 

 

Определение 6. Квадратная матрица A ≥ 0 называется прибыльной, если существует такая матрица-строка p > 0, что pA < p.

 

Это означает, что существует хотя бы одна система цен p, при которой цена каждого продукта больше денежных издержек его производства и, следовательно, во всех отраслях обеспечивается положительная прибыль, выражаемая (в расчете на единицу продукции) разностью p – pA.

 

Ясно, что возможность получения прибыли неразрывно связана с возможностью получения прибавочного продукта. Более того, условия продуктивности и прибыльности матрицы (материальных затрат) равносильны; и всегда справедливо соотношение,  означающее, что прибыль есть лишь денежное выражение прибавочного продукта, а прибавочный продукт есть материальное выражение прибыли.

 

3. МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В АНАЛИЗЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.  ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕЖОТРАСЛЕВАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ.

 

3.1. Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей.

Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения про­дукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью. Рассмотрим применение межотраслевого балансового метода для анализа таких важ­ных экономических показателей, как труд, фонды и цены.

К числу важнейших аналитических возможностей дан­ного метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моде­лью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении. В этом балансе по строкам пред­ставлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса).

Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции; предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.

Обозначим затраты живого труда в производстве j-ro про­дукта через L_j, а объем производства этого продукта (вало­вой выпуск), как и раньше, через X_j. Тогда прямые затраты труда на единицу j-ro вида продукции (коэффициент прямой трудоемкости) t_j можно задать следующей формулой:

t_j = L_j/X_j,       j= 1, …, n.         (19)

Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, пере­несенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j-го вида через T_j, то произведения вида a_ijT_i отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j-го продукта через i-e средство производства.

 

При этом предполагается, что коэффициенты прямых мате­риальных затрат a_ij выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны:

 

 

Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов пря­мой трудоемкости t = (t₁, t₂,..., t_n) и вектор-строку коэффи­циентов полной трудоемкости T = (Т₁, T₂,..., T_n). Тогда с использованием уже рассматриваемой выше мат­рицы коэффициентов прямых материальных затрат A (в нату­ральном выражении) систему уравнений (20) можно переписать в матричном виде:

Т = ТА + t.             (21)

Произведем очевидные матричные преобразования с исполь­зованием единичной матрицы E:

T – TA = TE – TA = Т (E – A).

 

И из формулы (21) получим следующее соотношение:

 

Т (E – A) = t.

 

Отсюда получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:

T = t (E – A)^–1.   (22)

Матрица (E – A)^–1 нам уже знакома, это матрица B коэф­фициентов полных материальных затрат, так что последнее равенство можно переписать в виде:

 

T = tB.   (22`)

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (19) будет равна

 

 

Используя соотношения (23), (10`) и (22`), приходим к следующему равенству:

tX = TY.               (24)

 

Здесь t и T –  вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а X и Y — вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.

СООТНОШЕНИЕ (24) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ОСНОВНОЕ БАЛАН­СОВОЕ РАВЕНСТВО В ТЕОРИИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ТРУДА.

В данном случае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оце­ненной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудо­выми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использо­вании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеще­ствленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов.

Схематически эти балансы строятся по общему типу матрич­ных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

Развитие основной модели межотраслевого баланса дос­тигается также путем включения в нее показателей фондо­емкости продукции. В простейшем случае модель дополня­ется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы производственных фондов Φ_j, занятые в каждой j-й отрасли. На основании этих данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются коэффици­енты прямой фондоемкости f_j продукции j-й отрасли:

f_j =  Φ_j/X_j  , j = 1, …, n.  (25)

Коэффициент прямой фондоемкости f_j показывает величину производственных фондов, непосредственно занятых в про­изводстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции.

 

В отличие от этого показателя,  коэффициент полной фондоемкости F_j отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j-й отрасли.

 

Если аij – коэффициент прямых материальных затрат, то для коэффициента полной фондоемкости Fj справед­ливо равенство, аналогичное равенству (20) для коэффициен­та полной трудоемкости:

 

 

Если ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой фондоемкости f = (f₁, f₂, …, f_n) и вектор-строку коэф­фициентов полной фондоемкости F = (F₁, F₂,..., F_n), то систему уравнений (26) можно переписать в матричной форме:

F = FA + f.           (27)

Откуда с помощью преобразований, аналогичных применяе­мым нами выше для коэффициентов трудоемкости, можно полу­чить матричное соотношение:

F = f B,          (28)

где B = (E – A)^–1   – матрица коэффициентов полных материаль­ных затрат.

Для более глубокого анализа необходимо разделить фонды на основные и оборотные, а в пределах основ­ных — на здания, сооружения, производственное оборудование, транспортные средства и т.д.

Пусть в целом все производственные фонды разделены на m групп.

 

Тогда характеристика занятых в народном хо­зяйстве фондов задается матрицей показателей Φ_kj  ,  отра­жающих объем фондов  k-ой группы, занятых в j-й отрасли:  Φ = (Φ_kj) – матрица размера «m x n».

 

Коэффициенты прямой фондоемкости f_kj также образуют матрицу размерности  «m x n», элементы которой определяют величину производственных фондов k-й группы, непосредственно используемых при производстве единицы продукции j-й отрасли:

f_kj = Φ_kj/X_j.

 

Для каждой j-й отрасли могут быть вычислены коэффи­циенты полной фондоемкости F_kj, отражающие полную потребность в фондах к-й группы для выпуска единицы ко­нечной продукции этой отрасли:

 

Решение систем данных уравнений позволяет представить коэффициенты полной фондоемкости F_kj, по каждой из m групп фондов как функцию коэффициентов прямой фондоемкости f_kj :

 

В этих формулах величины а_ij и b_ij  – уже известные ко­эффициенты прямых и полных материальных затрат.

Коэффициенты фондоемкости в межотраслевом балансе позволяют увязать планируемый выпуск продукции с имею­щимися производственными мощностями. Так, потребность в функционирующих фондах k-й группы для достижения заданного объема материального производства Xj по всем отраслям задается формулой:

 

3.2. Динамическая межотраслевая балансовая модель.

Рассмотренные выше межотраслевые балансовые модели являются статическими, т. е. такими, в которых все зави­симости отнесены к одному моменту времени. Эти модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причем в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что очевидно вносит определенные упрощения и сужает возможности анализа.

К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируются распределение, использование и производственная эффек­тивность капитальных вложений. Капиталовложения выне­сены из сферы производства в сферу конечного использова­ния вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.

В отличие от статических,  динамические модели призваны отразить не состояние, а процесс развития экономики, уста­новить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития, и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реаль­ным условиям развития экономической системы.

В рассматриваемой здесь динамической модели, являю­щейся развитием статической межотраслевой модели, про­изводственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуются их структура и влияние на рост объема производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математиче­ская зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели, приводит к определению уровней про­изводства, но в динамическом варианте в отличие от стати­ческого эти искомые уровни зависят от объемов производства в предшествующих периодах.

 

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков.

 

Матрица текущих производственных затрат с элементами x_ij совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

 

Элементы второй матрицы ?Φ_ij показывают, какое количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложе­ний в ее основные фонды. Материально это выражается в при­росте в потребляющих отраслях производственного оборудо­вания, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

В статическом балансе потоки капиталовложений не разделяются  по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yi каждой i-й отрасли.

 

В динамической схеме конечный продукт Yi включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и обще­ственное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершенного строительства, на экспорт.

 

Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса:

 

Поэтому уравнение распределения продукции вида (2) в динамическом балансе преобразуется в следующее:

 

 

Межотраслевые потоки текущих затрат можно выразить, как в статической модели, через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

x_ij = а_ij X_j.

В отличие от потоков текущих затрат межотраслевые потоки капитальных вложений связаны не со всей величиной выпуска продукции, а обусловливают прирост продукции; причем в рассматриваемой модели предполагается, что при­рост продукции текущего периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде. Если текущий период обозначить через t, то прирост продукции ?Xj равен разно­сти абсолютных уровней производства в период t и в пред­шествующий (t – 1)-й период:

?Xj = Xj^(t) – Xj^{(t – 1)} .

 

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:

?Φ_ij = φ_ij ?X_j,     i, j = 1, … n.       (30)

Рассмотрим в равенстве (30) коэффициенты пропорцио­нальности φ_ij.

 

Поскольку φ_ij = ?Φ_ij/?X_j, то экономический смысл этих коэффициентов заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения производственной мощности j-й отрасли на единицу про­дукции. Предполагается, что производственные мощности ис­пользуются полностью и прирост продукции равен приросту мощности.

 

Определение 7. Коэффициенты  φ_ij называются коэффициентами вложений (или коэффициентами приростной фондоемкости).

С помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов вложений  φ_ij,  систему уравнений (29) мож­но представить в следующем виде:

 

 

Система (31) представляет собой систему линейных разностных уравнений первого порядка. Ее можно привести к обычной системе линейных уравнений, если учесть, что все объемы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определен в сравнении с (t – 1)-м периодом:

 

Отсюда можно записать следующие соотношения:

 

 

Пусть нам известны уровни валовой продукции всех от­раслей в предыдущем периоде (величины X_j^{(t – 1)}) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда очевидно, что соотношения (32) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t-то пе­риода.

 

Таким образом, решение динамической системы ли­нейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигну­того в предыдущем периоде. Связь между периодами уста­навливается через коэффициенты вложений φ_ij, характери­зующие фондоемкость единицы прироста продукции.

Переходя от дискретного анализа к непрерывному, вместо (29) будем иметь:

 

Выражение (30) в пределе дает:

 

 

Окончательно для случая непрерывных изменений получим следующую систему соотношений:

 

 

 

Соотношения (33) представляют собой систему n линей­ных дифференциальных уравнений первого порядка с посто­янными коэффициентами. Для ее решения помимо матриц коэффициентов прямых материальных текущих затрат и ко­эффициентов капитальных затрат (вложений) необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t = 0 и закон изменения величины конечного продукта, т.е. вид функций Y_i^′(t). На основе этих данных путем решения получившейся задачи Коши для системы дифференциаль­ных уравнений (33) можно найти уровни валового выпуска теоретически для любого момента времени. Практически же более или менее достоверное описание валовых и конечных выпусков как функций времени может быть получено лишь для относительно небольших промежутков времени.

В динамической модели особую роль играют коэффициенты приростной фондоемкости φ_ij. Они образуют квадратную мат­рицу n-го порядка

 

 

каждый столбец которой характеризует для соответствую­щей j-й отрасли величину и структуру фондов, необходимых для увеличения на единицу ее производственной мощности (выпуска продукции). Матрица коэффициентов приростной фондоемкости дает значительный материал для экономиче­ского анализа и планирования капитальных вложений.

Коэффициенты приростной фондоемкости φ_ij определенным образом связаны с валовыми коэффициентами прямой фондо­емкости продукции f_kj, рассмотренными выше.

 

Коэффициенты f_kj показывают, сколько всего фондов данного вида приходится на единицу валового выпуска про­дукции, а коэффициенты φ_ij  отражают прирост фондов на еди­ницу прироста продукции. Если бы технический прогресс в отраслях производства отсутствовал, то на единицу прироста продукции потребовалось бы столько же новых фондов, сколько их уже занято на единицу выпускаемой продукции, т.е. ко­эффициенты приростной фондоемкости и валовой прямой фондоемкости были бы равны между собой. Так как новые капитальные вложения производятся на новом более высоком техническом уровне по сравнению с объемом и структурой действующих фондов, то на практике коэффициенты приро­стной фондоемкости и коэффициенты прямой фондоемкости различаются по величине. Однако между этими двумя группа­ми коэффициентов существует вполне определенная связь, и это используется при разработке динамических моделей, осо­бенно в связи с тем, что достоверные данные о фондоемкости продукции получить легче, чем непосредственно рассчитать коэффициенты вложений.

Кроме коэффициентов прямой фондоемкости коэффици­енты вложений связаны с другими показателями, например с соответствующими коэффициентами текущих затрат, отражающими износ основных фондов и равными амортизации, при­ходящейся на единицу продукции.

В рассмотренной динамической модели межотраслевого баланса предполагается, что прирост продукции текущего периода обусловлен капиталовложениями, произведенными в этом же периоде. Для сравнительно коротких периодов это предположение может оказаться нереальным, так как суще­ствуют известные, иногда довольно значительные отставания во времени (так называемые временные лаги) между вложе­нием средств в производственные фонды и приростом вы­пуска продукции.

 

Модели, так или иначе учитывающие лаг капитальных вложений, образуют особую группу динамиче­ских моделей межотраслевого баланса. Из теоретических моделей данного типа следует назвать прежде всего линейную динамическую межотраслевую модель Леонтьева, в которой капитальные вложения представлены в виде так называемого инвестиционного блока в форме Леонтьева. Математическим обобщением этой и ряда других динамических моделей яв­ляется динамическая модель в матричной форме Неймана, основанная на математической теории равномерного пропорционального роста экономики (так называемая магист­ральная теория).

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

[1] Лотов А.В. Введение в экономико-математическое  моделирование.  – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 392 с.

 

[2] Поттосина С.А., Журавлев В.А. Экономико-математические модели и методы. Учебное пособие. – Мн.:  БГУИР, 2003.  – 94 с., ил.

 

[3] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 367 с.

[4] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.