Конечное и бесконечное множества.
Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, обладающих некоторым общим свойством.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.
Рассмотрим для примера два каких-либо множества M и N и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.
Если множество M конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств M и N достаточно сосчитать число элементов в M, число элементов в N и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств M и N конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.
Конечные множества разделяются на счетные и несчетные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным и несчетным в противном случае. Так множество четных чисел - счетное, множество действительных чисел - несчетное.
Конечные и счетные множества называются дискретными множествами.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.
Однако, если оба множества M и N бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает.
Всякое бесконечное множество M содержит счетное множество N притом что M\N есть бесконечное множество
Всякое бесконечное множество M содержит подмножество N M причем M\N есть бесконечное множество.
Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Например: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.
Теорема Кантора-Бернштейна: Если из двух множеств M и N каждое эквивалентно части другого то эти два множества эквивалентны между собой.