Тригонометрическая форма комплексного числа:
Для всякого комплексного числа z=x+iy справедливо равенство
1. z=|z|(cos?+isin?).
Здесь |z|=x2+y2??????v, a ? удовлетворяет условиям:
cos?=xx2+y2??????v,sin?=yx2+y2??????v,??[0,2?).
1 равенство называют тригонометрической формой комплексного числа z.
показательной формой комплексного числа называется выражение z=r e^{i \varphi}, где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа, e^{i \varphi} — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.
Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi), где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем
z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi}
Формула Эйлера
Формула Эйлера связывает между собой тригонометрические и показательные функции:
e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi
где e – экспонента, i – мнимая единица.
Для комплексного числа z=x+iy выполняется:
e^{z} = e^{x+iy} = e^{x} \cdot e^{iy}
В случае, когда z – вещественное число (\text{Im } z = 0), верно
e^{z} = e^{x+0i} = e^{x} \cdot e^{0} = e^{x}
Если z – чисто мнимое число (\text{Re } z = 0), верно
e^{z} = e^{0+iy} = e^{0} \cdot e^{iy} = e^{iy}
Используя формулу Эйлера, получаем:
e^{z} = e^{x} \cdot e^{iy} = e^{x} \cdot (\cos y + i \sin y)