При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.
Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.
Дана система случайных величин , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:
Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.
Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента
Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
Тогда также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения различны, то для каждого события и тождественны. Следовательно,
и искомый ряд распределения имеет вид
Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.
Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения случайной величины , найти плотность распределения случайной величины . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.
Предположим сначала, что функция является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале , на котором лежат все возможные значения величины . Тогда обратная функция существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем
Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью
Найти закон распределения случайной величины , связанной с величиной зависимостью .
Решение. Так как функция монотонна на промежутке , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции есть , ее производная . Следовательно,
Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция такова, что обратная функция неоднозначна, т. е. одному значению величины соответствует несколько значений аргумента , которые обозначим , где — число участков, на которых функция изменяется монотонно. Тогда
Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины .
Решение. Обратная функция неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции
Пусть случайная величина является функцией двух случайных величин, образующих систему , т. е. . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы найти распределение случайной величины .
Пусть — плотность распределения системы случайных величин . Введем в рассмотрение новую величину , равную , и рассмотрим систему уравнений
Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно
и удовлетворяет условиям дифференцируемости.
Плотность распределения случайной величины
Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину положить равной .