В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.
1. Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром C(a,b) радиуса R: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2. Если окружность проходит через начало координат, то a 2+b 2 = R 2, и уравнение принимает вид x 2+y 2 = 2ax+2by. В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности (a = 0, b = 3/2), (a = 1, b = 0), ( a = -1, b = -3/2).
2. Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали и .
Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали и .
Гиперболическая спираль . На рисунке изображены спирали и .
Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .
3. Кардиоида . Три таких кривых изображены на рисунке справа. Декартово уравнение кардиоиды:
.
Параметрические уравнения кардиоиды:
Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .
4. Лемниската Бернулли . Подкоренное выражение неотрицательно при и . Декартово уравнение лемнискаты (x 2 + y 2 )2 = 2a 2 (x 2 - y 2 ).
Лемниската - геометрическое место точек M(x, y) таких, что , где F1(-a, 0) и F2(a, 0) - фокусы лемнискаты.
На рисунке изображена лемниската с .
5.Четырёхлепестковая роза . Декартово уравнение (x 2 + y 2 )3 = 4a 2 x 2 y 2 . Каждая точка M(x, y) этой кривой - основание перпендикуляра OM, опущенного из начала координат на отрезок AB постоянной длины 2a, движущийся так, что его концы находятся на осях координат.
6. Развёртка (эвольвента) окружности Каждая точка M(x, y) этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности x 2+y 2 = a 2 , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент t = 0 конец нити находится в точка A(a,0).
7. Циклоида Эта кривая - траектория точки M (x, y) окружности радиуса a, которая без скольжения катится по оси Ox. В начальный момент t = 0 точка находится в O (0, 0).
8. Астроида Декартово уравнение . Каждая точка M(x, y) этой кривой - основание перпендикуляра PM, опущенного из начала координат на отрезок AB постоянной длины a, движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка P - вершина прямоугольника, построенного на отрезке AB как диагонали. На рисунке приведена астроида с a = 2.
Площадь плоской области.
Декартовы координаты. В пункте 11.1.4. мы сформулировали Геометрический смысл определённого интеграла: если f(x)>0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b , сверху - функцией y = f(x) . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой y = f(x) , снизу - кривой y = g(x) , слева и справа - отрезками прямых x = a и x = b, то её площадь равна .
Пример: Найти площадь области D, ограниченной кривыми y = x2 + x + 11, y = 2 x - 9, при условии, что (дальше мы будем писать так: ).
При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых; уравнение x2 + x + 11 = 2 x - 9 имеет два корня: x = -1 и x = 2. Подходящий корень - x = -1. Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой x = 1, крайняя левая точка - x = -1, поэтому Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части .
Область задана в полярных координатах.. Если область D - сектор, ограниченный лучами , и кривой , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток лучами на n частей; . На каждом из отрезков выберем произвольную точку , найдём , тогда равно площади сектора круга, ограниченного лучами , и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область D, её площадь . При разница между Sступ и S - площадью области D - будет тоже стремиться к нулю, т.е. .
Примеры: 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .
Решение: точки лемнискаты расположены в секторах и ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе и учетверим её: .
2. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды вне окружности .
Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды ; для верхней части окружности , поэтому
3. Найти площадь, лежащую внутри окружности вне лемнискаты .
Решение. Точки пересечения лемнискаты и окружности находятся из условия , Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь верхней части и удваиваем её. При изменении от до полярный радиус меняется от до ; при изменении от до полярный радиус меняется от 0 до ; поэтому
Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию ABCD (см. 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции) задана в параметрическом виде ; то переход в интеграле к переменной t приводит к формуле .
Пример: найти площадь, ограниченную астроидой ().
Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точка (0, a) получается при , точка (a, 0) - при t = 0, поэтому
13.3. Вычисление длин кривых.
Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая AB. Разобьём эту кривую точками A = M0, M1, M2, …, Mi-1, Mi, …, Mn = B на n частей и впишем в кривую ломаную M0 M1 M2 …Mi-1 Mi … Mn, соединяющую эти точки. Длина L лом этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения: . Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных L лом, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой AB.
Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f(x), имеющей непрерывную производную , . Тогда точка M i имеет координаты (xi, f(xi)), звено Mi-1M i имеет длину . Функция y = f(x) на отрезке [xi-1xi] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что . С учётом этого длина звена Mi-1Mi равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением y = f(x), , определяется формулой .
Пример: Найти длину отрезка параболы y = x2 от точки A(0,0) до точки B(2,4).
Решение: , поэтому .
Кривая задана параметрически . Заменим в переменную x на переменную t. Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой .
Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.
Решение: кривая задаётся уравнениями .
Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол как параметр, получим , поэтому
.
Пример: найти длину кардиоиды .
Решение: , поэтому . Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из . Правильное решение: Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:
Объёмы тел вращения.
Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.
Рассечём это тело плоскостями x = x0 = a, x = x1, x = x 2, …, x = xi-1, x = xi, …, x = x n-1, x = xn = b на n слоёв (a = x0< x1 < < x2< …< xn-1 < xn = b), на каждом из отрезков [xi-1, xi] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi-1 и x = xi приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .
Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём V получается в результате вращения кривой y = f(x), , вокруг оси Ox, то, очевидно, , поэтому .
Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси Ox.
Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении t от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра t0 , равное , крайней правой точке соответствует значение tk = 0. Формула для кривой, заданной параметрически,примет вид , поэтому .
Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры ABCD вокруг оси Oy, рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса x, толщины , высоты f(x). Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты f(x); суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .
Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси находится по формуле .
Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.
Решение: .
Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)
(- длина окружности кольца, - его ширина).
Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг оси Ox.
Решение: .