По правилу Лопиталя вычисление предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций сводится к вычислению предела отношения их производных.
Пусть функции f(x) и g(x) одновременно бесконечно малые или бесконечно большие при x -> x0 (x -> inf). Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел отношения их производных, то существует и предел отношения самих функций и он равен первому пределу.
Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.
Понятие производной
Процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f'(x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:
даем аргументу x приращение Дx и определяем соответствующее приращение функции
Д?y=f(x+Д?x)-f(x);
составляем отношение
3) считая x постоянным, а Дx0, находим
Определение: Производной y'=f'(x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.Таким образом,
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции у=f(х), дифференцируемой в окрестностях точки x0.
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0,f(х0)) и пересекающую рафик в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая АВ называется секущей. Из ?АВС: АС=?x; ВС=?у;
tgв=?y/?x=k
- угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х>0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х>0 будет прямая a, называемая касательной к графику функции у=f(х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х>0, получим
или tg=f '(x0), так как
-угол наклона касательной к положительному направлению оси, значит
k=tg=f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно, что средняя скорость за промежуток времени [t0;t0+?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t>0.
- мгновенная скорость в момент времени t0.
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y=f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f(х) в точке x0.
(t) = x'(t) - скорость,
a(f) = '(t) = x"(t)- ускорение.
Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.
1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.
Если = 0, то , если последний существует.
2. Неопределенность вида ?/? Второе п. Л.
Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.
Если = ?, то , если последний существует.
3. Неопределенности 0??, ?- ?, 1?и 00 сводятся к неопределенностям 0/0 и ?/? путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.
• 0?? произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
•?- ? разность функций, стремящихся к бесконечности;
•1? степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
•?0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
•00 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.