Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные и разностные уравнения

 

Лекция 2

Тема лекции: «Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений»

 

1. Системы  дифференциальных уравнений в нормальной форме.
2. Свойства линейных систем дифференциальных уравнений.
3. Применение теории дифференциальных уравнений в задачах экономики.

 

1. СИСТЕМЫ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

 

1.1.            Нормальный вид  системы  дифференциальных уравнений  и ее векторная запись.

Системой нормального вида называется система

 

dx_i/dt = f_i(t, x1, …, xn), i = l,..., n.     (1)

 

В такой системе число уравнений равно числу искомых функций x_i(t) (i = 1,... ,n). В левой части каждого уравнения системы  (1) стоит первая производная одной из искомых функций, в правых частях производных нет. Одно уравнение dx/dt = f(t,x) является частным случаем такой системы.

 

 К таким системам сводятся дифференциальные  уравнения n-го порядка:

 

y⁽ⁿ⁾ = f(t, y, y',..., y^(n-l)),

 

а также, многие более сложные системы  и системы, возникающие в механике, физике, технике.

 

Для исследования общих свойств такой системы (1) удобно использовать векторные обозначения:

 

x = (x₁, …, x_n), f = (f₁, ... , f_n).

 

Тогда система записывается в виде одного векторного уравнения

 

dx/dt = f(t, х).  (2)

 

Эта запись позволяет доказывать многие теоремы для системы (1) почти так же коротко, как для одного уравнения. 

 

Решение системы (1) есть совокупность n функций

x₁(t), ..., x_n(t),

определенная на некотором интервале (или отрезке) и  удовлетворяющая системе.

 

График каждого решения есть линия  в (n+1)-мерном пространстве с координатами (t, х₁..., x_n). В каждой ее точке угловые коэффициенты касательной к этой линии  в силу (1) равны f₁(t, x₁, …, x_n), …, f_n(t, x₁, …, x_n).

 

Таким образом, система (1) определяет поле направлений (направлений с этими угловыми коэффициентами) в пространстве (t, х₁, ..., x_n) или в той области этого пространства, где определены функции  f₁, …, f_n. А решение системы (1) изображается линией, которая  в каждой своей точке касается направления, заданного в этой  точке.

 

1.2.            Задача Коши системы дифференциальных уравнений.

 

Система (1), как и одно дифференциальное уравнение, вообще говоря, имеет много решений. Поэтому для выделения  единственного решения надо задавать помимо системы также начальные условия:

x₁ (t₀) = x₁₀, …, x_n(t₀) =  х_n0  для (1)

или

 

x(t₀) = x₀ для (2).

 

Задача отыскания решения данного уравнения  или системы с такими начальными условиями называется задачей Коши (начальной задачей, задачей с начальными условиями).

 

Пусть x(t) и f(x) — векторы-столбцы, все x′_i(t) и ∂fi/∂xj непрерывны. По правилу дифференцирования сложных функций от n переменных имеем:

 

df_i(x(t))/dt = (∂f_i/∂x₁)x'₁(t) + … + (∂f_i/∂x_n)x'_n(t) . (3)

 

Применяя эту формулу к каждой координате f_i  вектора f,  получаем, что df(x(t))/dt — вектор-столбец с координатами (3).

 

Следовательно,

df(x(t))/dt = Ax'(t),  (4)

 

где матрица

A = (∂f_i/∂x_j),  i, j=1, …, n.

 

1.3.            Условие Липшица.

 

Говорят, что функция (или вектор-функция) f (x, t)  удовлетворяет условию Липшица по x  на множестве D, если существует такая постоянная k, что для каждых двух точек 

(t, х) Î D, (t,  у) Î D  имеем:

 

|f(t,x) — f(t,y)| ≤ k |x — y| .            (5)

 

Область D называется выпуклой по х, если для каждой пары ее точек вида (t, х) и (t,x*),  соединяющий их отрезок содержится  в D. 

 

Лемма 1. Если вектор-функция f(t, х) (х  Î Rⁿ, f Î Rⁿ, n ≥ 1)  имеет в выпуклой по х области D частные производные ∂f_i/∂x_j , и |∂f_i/∂x_j|  ≤  ?  (i,j = 1,..., n) в D, то f(t,x) удовлетворяет в D условию Липшица (5) с константой k  = n? . 

 

Теорема 1 (о единственности решения).

 

Пусть в области D  вектор-функция f(t, х) и ее частные производные ∂f_i/∂x_j (i,j = 1,.. .,n)  непрерывны. Тогда для любой точки (t₀, x₀) Î D может существовать не более одного решения задачи:

dx/dt = f(t,x),      x(t₀) = x₀.       (6)

 

Точнее, любые два решения этой задачи совпадают на общей части их интервалов существования.

 

В [5, § 5] даются:  теорема единственности решения системы нормального вида с начальным условием x(t₀) = x₀ и два доказательства существования решения: методом последовательных приближений (доказательство Пикара) и более короткое — путем перехода  к уравнению с запаздыванием (вариант доказательства Тоннели). Достаточно прочитать любое из этих доказательств.

 

Теорема 2 (о существовании и единственности решения).

Пусть в области D Ì  Rⁿ⁺¹ вектор-функция f(t, x) и ее производные  ∂fi/∂xj (i,j = 1,.. .,n) непрерывны. Тогда для любой  точки (t₀, x₀) Î D задача (6) имеет единственное решение на отрезке

I [t₀ — d ≤ t  ≤  t₀ + d],

где

d = r/ √m² + 1 > 0;

r таково, что шар

S((t – t₀)² + |x – x₀|²  ≤ r²)

содержится в D; 

m = max |f| в S.

 

ТЕОРЕМА 2а.

Если  в области D Ì  Rⁿ⁺¹ вектор-функция f(t, x) и ее производные  ∂fi/∂xj (i,j = 1,.. .,n) непрерывны, то для любой  точки (t₀, x₀) Î D на некотором отрезке

 

I [t₀ — d ≤ t  ≤  t₀ + d] (где d то же, что и в теореме 2)

 

 существует решение задачи (6).

 

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае, когда на функцию f(t,x) не налагается других условий, кроме непрерывности, задача (6) может иметь более одного решения.  Например, задача dx/dt = Зx^2/3, х(0) = 0  имеет решения х = 0 и х = t³, см. [5, пример 2 §2 и рис.4.]

 

1.4.             Существование и единственность решения для уравнения n-го порядка.

 

Теорема 3 (о существовании и единственности решения  для уравнения n-го порядка).

Дано уравнение с начальными условиями:

 

y⁽ⁿ⁾ = f (t, y, y′, y′′, …, y^(n-1)),          (7)

 

y(t₀) = y₀, y′(t₀) = y′₀, y′′(t₀) = y′′₀ , …, y^(n-1)(t₀) = y₀^(n-1) .            (8)

 

Пусть в области D Ì  Rⁿ⁺¹ функция f непрерывна по совокупности всех своих аргументов, имеет непрерывные частные производные первого порядка по y, y′, y′′, … , y^(n-1), и начальная точка

(t₀, y₀, y′₀, …, y₀^(n-1))

 лежит внутри D.

Тогда на некотором отрезке

 

I [t₀ — d ≤ t  ≤  t₀ + d], (d > 0)

 

существует единственное решение задачи (7), (8).

 

1.5.            Геометрическая иллюстрация теорем существования и единственности.

 

Для простоты будем предполагать, что функция f и ее частные производные первого порядка непрерывны всюду. Для дифференциального уравнения 1-го порядка х' = f(t, х) или системы нормального вида теорема 1 означает, что через любую точку (t₀,x₀) проходит ровно одно решение, точнее,  график решения.

 

Для уравнения

у⁽ⁿ⁾ = f(t, ,у, у',..., y ^(n-1))

 

порядка n  ≥ 2 рассматриваются графики решений y(t) на плоскости t,y.

 

В силу теоремы 3 для уравнения 2-го порядка при начальных условиях

 

у (t₀) = y₀, у'(t₀) = y'₀ ,

 существует единственное решение.

 

Значит, через точку (t₀, y₀) проходит бесконечно много решений, различающихся значениями у'(t₀) = у'₀, то есть направлениями касательной к графику решения в этой точке.  Но два разных  решения не могут иметь в этой точке одну и ту же производную

 у'(t₀), следовательно, не могут касаться друг друга.

 

Для уравнения 3-го порядка задаются начальные условия

 

y(t₀) = y₀, y'(t₀) = y'₀, y''(t₀)  = y''₀.

 

Значит, через точку (t₀,y₀)  по каждому направлению с угловым коэффициентом у'₀ (здесь у'₀ произвольное число) проходит бесконечно много решений.

Они  касаются друг друга и различаются значениями у"(t₀).  По любому другому направлению (с другим значением у'₀) проходит тоже  бесконечно много решений.

 

К системам нормального вида с помощью аналогичных замен можно свести широкий класс систем уравнений, содержащих  производные высших порядков, а именно системы, разрешенные относительно старших производных. В таких системах число уравнений равно числу искомых функций, для каждой искомой функции выделяется старшая из входящих в систему производных,  она стоит в левой части одного из уравнений системы, а в правых частях нет этих старших производных.

 

ПРИМЕР 1.

Например, такова система

 

y''' = f(t, y, y', y'', z, z'),  z" = g (t, y, y', y'', z, z') .

 

Заменой у = х1, у' = х2, у" = х3, z = x4, z' = х5,  эта система

 

сводится к системе нормального вида

 

х'1 = x2, х'2 = x3, x'3 = f(t,  x1, x2, x3, x4, x5),

 

x'4 = х5, х'5 = g(t, x1, x2, x3, x4, x5).

 

1.6.             Достаточные условия единственности решения.

 

Известно много достаточных условий единственности решения. Ниже приводится условие, обеспечивающее единственность при t > t₀  решения задачи

 

х' = f(t, x), x(t₀) = х₀.

 

Именно такая единственность нужна в технических приложениях.

 

Справедливо следующее утверждение.

 

УТВЕРЖДЕНИЕ.

Пусть существует такая интегрируемая функция k(t), что для любых точек (t, x), (t, у) области D Ì Rⁿ⁺¹ имеем

 

(f(t, х) - f(t, у)) • (х - у) ≤  k(t) |x — у|² ,

 

(произведение векторов — скалярное).

 

Тогда для любого начального условия х(t₀) = x₀,  (t₀, х₀)Î D при t > t₀ может существовать не более одного решения (точнее, любые два решения совпадают на общей части их интервалов существования при t > t₀).

 

1. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

 

2.1. Линейные дифференциальные  уравнения и системы. Свойства линейных систем.

 

Изучение линейных дифференциальных уравнений составляет отдельное теоретическое направление потому, что они обладают рядом свойств, позволяющих глубже их изучить. Основное свойство состоит в том, что все решения линейного уравнения или системы выражаются через конечное число решений.

 

Рассмотрим линейную систему нормального вида

 

dx_i/dt = a_i1(t)x₁+... + a_in(t) x_n + f_i(t),         i=1,...,n,    (9)

 

или, в векторной записи,

dx/dt = A(t)x + f(t),                   (10)

 

где

х = (x₁, …, x_n)^T  , f = (f₁, …, f_n)^T   

 

A(t) =(a_ij(t))   – матрица порядка n с элементами a_ij(t).

 

Всегда предполагается, что на рассматриваемом конечном или бесконечном интервале

α < t < β

функции a_ij(t) и f_i(t) непрерывны, a_ij(t) вещественны.

 

 

Лемма 2.

Если матрица A(t) вещественная, то

а) вещественная и мнимая части любого комплексного решения системы х' = A(t)x являются вещественными решениями этой системы;

б) вещественная и мнимая части решения х = u+iv системы (10) с f(t) = g(t) + ih(t) (g и h вещественны) являются решениями систем

 

u' = A(t)u + g(t), v' = A(t)v + h(t); (11)

 

в) обратно, если u и v — решения систем (11), то х = u+iv — решение системы (10) с f(t) = g(t) + ih(t).

 

Теорема 4.

При любом начальном условии х(t₀) = х₀ система  (10) имеет единственное решение. Все ее решения продолжаются  на весь интервал (α, β).

 

Далее будем считать, что все решения продолжены  на весь интервал α < t < β.

 

2.2. Общие свойства линейных уравнений и систем.

 

Система (9) или (10) называется линейной однородной, если все f_i(t) ≡ 0, и линейной неоднородной в противном случае.

 

В системе (10) перенесем A(t)x влево и запишем эту систему в виде

Lx = f.

 

Здесь f и х — элементы линейного пространства непрерывных (для х — непрерывно дифференцируемых) n-мерных вектор-функций на интервале α < t < β, L — линейный оператор, то есть такой, что

L(u + v) = Lu + Lv   и            L(γu) = γLu

для любых u и v из линейного пространства, на котором определен оператор L, и любого числа γ.

Из этих свойств следует, что если x¹,...,  x^k — решения линейного однородного уравнения

Lx = 0

(верхний индекс — номер решения), γ₁, …,  γ_k — числа, то

 

x¹ γ₁ + … + x^k  γ_k

 

 –  тоже решения того же уравнения.

 

Следовательно, множество решений линейного однородного уравнения (или системы) есть линейное пространство.

Если же x¹,...,  x^k   — решения линейных неоднородных уравнений

 

Lxⁱ  = fⁱ              (i = 1,..., k),

 

γ₁, …,  γ_k — числа,   то

х =  x¹ γ₁ + … + x^k  γ_k

— решение уравнения

 

Lx = γ₁ f¹ + … +  γ_k f^k  .

В частности,  если

Lu = 0, Lv = f,

то

L(u + v) = f;

если

Lv¹ = f, Lv² = f,

то

L(v^l  –  v²) = 0.

 

То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же L) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения.

 

2.3. Линейная зависимость вектор-функций.

 

Вектор-функции x¹(t), ...,  x^k (t) называются линейно зависимыми на интервале (или на множестве) М, если найдутся такие постоянные числа c₁,..., c_k, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при всех t Î M имеем

c₁x¹(t) +  … + c_k x^k (t) = 0.  (12)

Вектор-функции  линейно  независимы на M, если они не являются линейно зависимыми на M, то есть если равенство (12) (при всех t Π M одновременно) возможно лишь в случае  c₁ = ... = с_k = 0.

 

Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном множестве M, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.

 

Если вектор-функции x¹(t), ...,  x^k (t)   линейно зависимы на M, то при каждом tÎ M их значения являются линейно зависимыми  векторами, это следует из (12). Обратное неверно.

 

ПРИМЕР 2.

Вектор-функции

x¹(t) = (1,1) и x²(t) = (t, t)

при любом t являются линейно зависимыми векторами.

 

Действительно, при любом t = t₁ имеем c₁x¹(t₁) + c₂x²(t₁) = 0, если  c₁ = t₁  c₂ = – 1.

 

Но как вектор-функции, они на любом интервале (α, β) линейно независимы, так как при постоянных с₁ и  c₂  равенство 

c₁x¹(t) +  c₂ x² (t) = 0

 

 на всем интервале (α, β)  возможно лишь при  с₁ = с₂ = 0.

Действительно, c₁x¹(t) +  c₂ x² (t) = 0  эквивалентно выполнению равенства

c₁ + c₂t = 0.

 

2.3. Детерминант Вронского.

 

Детерминант Вронского W (t) или вронскиан для n-мерных вектор-функций

х¹(t),... , xⁿ (t) — это детерминант n-го порядка,  столбцы которого состоят из координат этих вектор-функций.

 

Лемма 2.

Если вектор-функции x¹(t), ...,  xⁿ (t)   линейно зависимы, то их вронскиан W(t) ≡ 0.

 

Следствие.

Если вронскиан W(t) ≠  0 ($ t),  то вектор-функции x¹(t), ...,  xⁿ (t)   линейно независимы.

 

Лемма 3.

Если вектор-функции x¹(t), ...,  xⁿ (t)  являются решениями системы х' = A(t)x с непрерывной матрицей A(t),  и их вронскиан равен нулю хотя бы при одном значении  t, то эти вектор-функции линейно зависимы и  их вронскиан W(t) ≡ 0.

 

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций примера 2

 

x¹(t) = (1,1) и x²(t) = (t, t)

имеем:  W(t) ≡ 0, а они линейно независимы.

 

Далее рассматриваются решения линейной системы

х' = A(t)x,   х Î Rⁿ.

Фундаментальной системой решений называется любая система n линейно независимых решений.

Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем t₀ Î (α,  β) и любые n линейно независимых векторов b¹, …, bⁿ Î Rⁿ

 

Пусть х¹(t),... ,xⁿ(t) — решения системы  х' = A(t)x  с начальными условиями x^j(t⁰) = b^j, j = 1,... ,n.

Эти решения линейно независимы, так как при t = t₀ их значения — линейно независимые векторы b¹,..., bⁿ,  и равенство (12) возможно только при c₁ = ... = c_n = 0.

 

Общим решением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множество при всевозможных значениях произвольных постоянных).

Теорема 5 (об общем решении).

Пусть x^l(t),... xⁿ(t) — какие-нибудь n линейно независимых решений системы

х' = A(t)x.

Общее решение системы есть

x(t) = c₁x¹(t) + ... + c_n xⁿ(t),     (13)

где c₁,..., c_n — произвольные постоянные.

 

Теорема 5 означает, что множество решений системы х' = A(t)x (х Î Rⁿ)  есть n-мерное линейное пространство.

Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Равенство (13) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса.

Фундаментальной матрицей системы х' = A(t)x называется матрица X(t), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений.

 

Из леммы 3 следует, что det X(t) = W(t) ≠ 0.

С помощью фундаментальной матрицы X(t) общее решение (13)  записывается в виде

x(t) = X(t)c,

где с — вектор-столбец с произвольными координатами c₁,..., с_n (так как X(t)c — линейная комбинация столбцов матрицы X(t), равная правой части (13)  с коэффициентами с₁..., с_n.

 

ПРИМЕР 3.

Найти линейно независимые решения и фундаментальную матрицу для системы

х' = у, у' = 0.

Решение примера.

 

Из второго уравнения имеем у = с₁ (произвольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем  х' = с₁. Отсюда х = c₁t + c₂.

Общее решение есть х = c₁t + c₂, у = с₁.

Полагая с₁ = 1, с₂ = 0, находим частное решение х₁ = t, y₁ = 1, а полагая с₁ = 0, с₂ = 1, находим другое решение х₂ = 1, y₂ = 0. Их вронскиан W(t) = -1 ≠ 0. И в силу следствия леммы 2 эти решения линейно независимы. Поэтому фундаментальной является матрица

.

 

Теорема 6 (переход от одной фундаментальной матрицы к другой).

Пусть X(t) — фундаментальная матрица, С — неособая (det С ≠ 0) постоянная матрица n x n. Тогда Y(t) = X(t)C — фундаментальная матрица той же системы.  По этой формуле из данной фундаментальной матрицы X(t) можно получить любую фундаментальную матрицу Y(t), подбирая матрицу С.

 

Теорема 7. Общее решение линейной неоднородной системы (10)

х' = A(t)x + f(t)

есть сумма ее частного решения и общего решения линейной однородной системы

u' = A(t)u.

То есть

x _{общ. неодн.} = x _{частн. неодн}. + u _{общ. одн.}

 

1. 3.       ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.

 

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ма­тематике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построе­нию математических моделей, основой которых являются диф­ференциальные уравнения.

 

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция со­держится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функ­ций, представляющих собой решения этих уравнений.

 

На этой лекции мы рассмотрим пример примене­ния теории дифференциальных уравнений в непрерывной мо­дели экономики, где независимой переменной является вре­мя t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономичес­кой динамики.

 

3.1.             Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

 

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тен­денции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функци­ями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t).

 

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:

 

  D(t) = 3P′′  – P′ – 2P +18,

S(t) =  4P′′ + P′ + 3P + 3.             (14)

 

Принятые в (14) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

1. Спрос "подогревается" темпом изменения цены: если темп растет (Р" > 0), то рынок увеличивает интерес к то­вару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р" в функции S(t) больше, чем в D(t). Рост цены также увеличивает предложе­ние, потому слагаемое, содержащее Р', входит в выражение для S(t) со знаком плюс.

 

Требуется установить зависимость цены от времени. По­скольку равновесное состояние рынка характеризуется равен­ством D = S, приравняем правые части уравнений (14). После приведения подобных получаем

P′′ + 2P′ + 5P = 15.     (15)

Соотношение (15) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P(t). Как было установлено в предыдущем пункте,   общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частно­го решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

 

P′′ + 2P′ + 5P = 0.     (16)

Характеристическое уравнение имеет вид

 

k² + 2k  + 5 = 0.

Его корни — комплексно-сопряженные числа: k_1,2 = -1 ± 2i, и, следовательно, общее решение уравнения (16) дается фор­мулой

 

?(t) =  e^–t (C₁ cos 2t + C₂ sin 2t),

 

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные. В качестве частно­го решения неоднородного уравнения (15) возьмем решение Р = P_st — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (15) дает значение P_st:

P_st = 3.

Таким образом, общее решение уравнения (15) имеет вид

 

P(t) =  3 + e^-t (C₁ cos 2t + C₂ sin 2t).     (17)

 

Нетрудно видеть, что P(t)  P_st = 3 при t  , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене P_st с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

 

3.2.             Частные решения: задача Коши и смешанная задача.

 

Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени из­вестна цена, а также тенденция ее изменения:       При t=0

P(0) = 4,  P′(0) = 1.

 

Подставляя первое условие в формулу общего решения (17), получаем

Р(0) = С₁ + 3 = 4, откуда С₁ = 1, т.е. имеем

 

P(t) =  3 + e^–t (cos 2t + C₂ sin 2t).     (18)

 

Дифференцируя, имеем отсюда

 

P′(t) =  e^–t [(2C₂ – 1) cos 2t – (C₂ +2) sin 2t].    

 

Теперь реализуем второе условие задачи Коши:

 

Р'(0) = 2C₂ — 1 = 1, откуда C₂ = 1. Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

P(t) =  3 + e^–t (cos 2t + sin 2t).    

 

или в более удобной форме:

 

 

2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

 

При t=0

 

P(0) = 4, D(0) = 16.

 

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в преды­дущем случае, то имеем и здесь решение (18). Тогда произ­водные функции Р(t) выражаются формулами

 

P′(t) =  e^–t [(2C₂ – 1) cos 2t – (C₂ +2) sin 2t].    

 

P′′(t) = –e^–t [(4C₂ +3) cos 2t – (3C₂ –5) sin 2t].    

 

Отсюда Р'(0) =2C₂  - 1 и Р"(0) = -4C₂  - 3. Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т.е. D(0) = 16, имеем с учетом вида D(t) из первой формулы (14): С₂ = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

 

P(t) =  3 + e^–t (cos 2t – sin 2t),    

 

или в более удобной форме:

.

 

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изоб­ражены на рисунке 1.

 

Рис.1.

 

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

[1] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).

[2] Колемаев В. А.  Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

 

[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П.  Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

 

[4] Красс М.С., Чупрынов Б.П.  Математика для экономистов. СПб.:  Питер, 2005. – 464, ил. (Серия «Учебное пособие»).

 

[5] Филиппов А. Ф.  Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. — 240 с.