Системы и модели массового обслуживания

Тема лекции : «Системы и модели массового обслуживания»

 

Разделы лекции: 

 

1. Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания.

2. Моделирование систем массового обслуживания.

3. Модели принятия решений в теории массового обслуживания.

РАЗДЕЛ 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

В СВЯЗИ С ЧЕМ ВОЗНИКАЮТ ЗАДАЧИ ОРГАНИЗАЦИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Природа массового обслуживания весьма тонка и слож­на. Ожидание того или иного вида обслуживания является частью нашей повседневной жизни. Мы ожидаем, чтобы пообедать в ресторане, мы стоим в очереди к кассам в супермаркетах и выстраиваемся в очередь в почтовых отделениях и банках. Однако феномен ожидания характерен не только для людей.  В очередь могут быть поставлены работы для выполнения на станке; группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на посадку в аэропорту; автомобили, движение которых приостановлено сигналом светофора на пути их следования и т.д.  К сожалению, феномен ожидания нельзя исключить без чрезмерных расходов. И лишь на одно мы можем надеяться:  на возможность сокращения времени нежелательного ожидания в очереди до некоторых терпимых пределов.

 

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности.  Например, коммерческая деятельность  связана с выполнением множе­ства операций на этапах движения товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями, например, являются:

 

- погрузка товаров,

 

- перевозка,

 

- разгрузка,

 

- хранение,

 

- об­работка,

 

- фасовка,

 

- реализация.

 

Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количест­вом предварительных, подготовительных, сопутствующих, па­раллельных и последующих операций с платежными документа­ми, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслу­живание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения ко­торых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих раз­грузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супер­маркета, ресторана или в цехах производства собственной про­дукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, на­правленных на увеличение эффективности коммерческой дея­тельности. Кроме того, возникают другие задачи, связанные с создани­ем, организацией и планированием нового экономичного, раци­онального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отде­ла кадров и др.

 

ЧТО ТАКОЕ ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Задачи организации массового обслуживания можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО).  Имеется большое количество литерату­ры, посвященной непосредственно теории массового обслужива­ния (ТМО), развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения – военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др. Теория массового обслуживания опирается на теорию вероят­ностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского уче­ного А. К. Эрланга (1878 – 1929), с его трудами в области проекти­рования и эксплуатации телефонных станций. Теория массового обслуживания – это область прикладной мате­матики, занимающаяся анализом процессов в системах произ­водства, обслуживания, управления, в которых однородные со­бытия повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и пере­дачи информации; на автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Е. С. Вентцель и др.

 

ЧТО ТАКОЕ ЗАЯВКА НА ОБСЛУЖИВАНИЕ И КАНАЛ ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Обслуживание имеет различный характер по своей природе. При обслуживании продавцами покупателей в магазинах, обслу­живании посетителей в ресторанах, обслуживании клиентов в отделениях банков, на предприятиях бытового обслужива­ния и т.д. возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей. В теории массового обслуживания поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определя­ется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а опера­ции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, назы­ваемыми каналами (узлами) обслуживания.  В некоторых случаях обслуживание производится одним челове­ком (обслуживание покупателя одним продавцом), в некоторых — группой людей (обслуживание клиента в ресторане), а в некоторых случаях — техническими устройст­вами (продажа напитков и бутербродов автоматами). Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовле­творения потребности.   Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

 

ПРИМЕР 1 (ЗАЯВКИ НА ОБСЛУЖИВАНИЕ И КАНАЛЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ).

 

Например, в коммерческой деятельности роль заявок на обслуживание выполняют:

 

- това­ры,

 

- посетители,

 

- денежные средства,

 

- ревизоры,

 

- документы и т.д.,

 

а роль каналов об­служивания выполняют:

 

- продавцы,

 

- администраторы,

 

- повара,

 

- кондитеры,

 

- официанты,

 

- кассиры,

 

- товароведы,

 

- грузчики,

 

- торговое оборудова­ние и др.

 

Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом — выступает в роли заявки на обслуживание, например, к заведующему производством за получением товара.

 

КАКИЕ КАНАЛЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ ОДНОРОДНЫМИ?

 

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одина­ковые заявки, то каналы обслуживания называются однородны­ми.

 

ЧТО ТАКОЕ ОБСЛУЖИВАЮЩАЯ СИСТЕМА?

 

Совокупность однородных каналов обслуживания называет­ся обслуживающей системой.

 

ЧТО ПОНИМАЮТ  ПОД  КАЧЕСТВОМ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБСЛУЖИВАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ?

 

Организация системы обслуживания зависит от воли челове­ка. Под качеством функционирования системы в теории массо­вого обслуживания (ТМО) понимают не то, насколько хорошо выполне­но обслуживание, а то, насколько полно загружена система об­служивания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

 

КАКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ХАРАКТЕРИЗУЮТ РАБОТУ ОБСЛУЖИВАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ?

 

Изучение очередей в системах массового обслуживания позволяет определить критерии функционирования обслуживающей системы.  Работу системы обслуживания характеризуют такие показате­ли, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в ко­нечном итоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности.

 

Наиболее значимыми критериями функционирования обслуживающей системы являются среднее время ожидания в очереди и средняя длина очереди. Эта информация используется затем для выбора надлежащего уровня обслуживания, что продемонстрировано в следующем примере.

 

ПРИМЕР 2.  Посетители ресторана быстрого питания  «Сочный бургер» жалуются на медленное обслуживание. В настоящее время в ресторане работают три кассира. Управляющий поручил консалтинговой фирме провести расследование жалобы. В результате была обнаружена следующая зависимость между числом кассиров и временем ожидания обслуживания, представленная в таблице 1.

 

Таблица 1.

Число кассиров	1	2	3	4	5	6
Среднее время ожидания (минуты)	16,2	10,3	6,9	4,8	2,9	1,9

 

Приведенные в таблице 1 данные свидетельствуют о том, что при работающих в настоящее время трех кассирах среднее время ожидания обслуживания примерно равно 7 минут. Управляющий хочет уменьшить его примерно до трех минут.  Как следует из этих же данных, среднее время ожидания становится меньше 3 минут, если число кассиров больше или равно пяти. Действительно, при пяти работающих кассирах среднее время ожидания равно 2,9 минуты. Результаты исследования системы обслуживания также можно использовать для оптимизации модели со стоимостными характеристиками, в которой минимизируется сумма затрат, связанных с предоставлением услуг, и потерь, обусловленных задержками в их предоставлении.

 

КАКИЕ ЗАЯВКИ НА ОБСЛУЖИВАНИЕ НАЗЫВАЮТСЯ ВХОДЯЩИМИ И ВЫХОДЯЩИМИ?

 

В систему массового обслуживания поступает большое коли­чество заявок в случайные моменты времени, длительность обслу­живания которых также является случайной величиной. Заявки в силу массовости поступления на обслуживание об­разуют потоки. Последо­вательное поступление заявок в систему обслуживания называет­ся входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания – выходящим потоком.

 

ЧТО ТАКОЕ ПОТОК ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВОК?

 

Случайный характер распределения длительности выполне­ния операций обслуживания,   наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание,  приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

 

Таким образом, заявки, поступающие в обслуживающую систему, до выполнения операций обслужива­ния называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки об­служивания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. 

 

ОТ ЧЕГО ЗАВИСИТ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВКИ?

 

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заяв­ка на обслуживание покидает систему. Продолжительность ин­тервала времени, требуемого для реализации процедуры обслу­живания, зависит в основном от характера запроса заявки на об­служивание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

 

ПРИМЕР 3. Действительно, например, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой — от формы организации об­служивания и обслуживающего персонала, что может значитель­но повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания.

 

Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволяет увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупате­лями по каждой кассе более чем на 1,5 ч.  в день. Внедрение еди­ного узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин., то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с. уходят на оформление покупки в секции и 23 с. непосредственно на рас­четы за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобрете­нии двух покупок в 1,4 раза, трех — в 1,9, пяти - в 2,9 раза.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Заметим, что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

 

ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ ПРЕДМЕТОМ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Теория массового обслуживания занимается изучением про­цессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой ме­тодов решения типичных задач массового обслуживания. Предметом теории массового обслуживания является установ­ление зависимостей между характером потока заявок, числом ка­налов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.  

 

ЧТО ТАКОЕ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). В целом совокупность элементов входящего потока за­явок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока за­явок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания — СМО, структурная модель которой представле­на на рисунке 1.

 

Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с поку­пателями в магазинах, кафе, рабочие места экономис­та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

 

 

Рисунок 1. Структурная модель одноканальной системы массового обслуживания.

 

В коммерческой деятельности заявки, поступающие в систе­му массового обслуживания, выступают с высокими претензия­ми еще и на качество обслуживания в целом, которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся и рассматриваемых непосредственно в теории массового обслужи­вания, но и дополнительные, характерные для специфики ком­мерческой деятельности, в частности отдельных процедур обслу­живания, требования к уровню которых к настоящему времени сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и по­казатели коммерческой деятельности.

 

В ЧЕМ СОСТОИТ СУЩНОСТЬ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум сум­марных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ре­сурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

 

Чтобы улучшить качество функционирования системы об­служивания, необходимо определить, каким образом распреде­лить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как распо­ложить или сгруппировать каналы обслуживания или обслужива­ющие аппараты для улучшения показателей коммерческой дея­тельности. Для решения перечисленных задач существует эффек­тивный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

 

РАЗДЕЛ 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ МОДЕЛЕЙ  МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Основными элементами модели массового обслуживания являются клиент (заявка или требование на обслуживание либо просто «объект обслуживания») и сервис (обслуживающее устройство, обслуживающая система, средства обслуживания и т.д.). Клиенты поступают в систему обслуживания из источника. Поступив в сервис, они могут сразу же попасть на обслуживание или ожидать в очереди, если сервис занят. После завершения процедуры обслуживания сервис автоматически выбирает из очереди (если она имеется) одного из клиентов с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. Если же очередь отсутствует, то сервис становится незанятым до прибытия нового клиента.
Поступление клиентов в систему обслуживания характеризуется интервалом между их последовательными поступлениями, а обслуживание характеризуется временем обслуживания клиента. В общем случае эти параметры могут быть и случайными,  как, например, в работе отделения банка, и детерминированными, как, например, прибытие на собеседование кандидатов на вакантную должность.

В анализе систем обслуживания определенную роль играет длина очереди, которая может быть конечной, как в буферной зоне между двумя последовательными обслуживающими устройствами, и бесконечной, как у обслуживающих операторов почтовых отделений.

ЧТО ТАКОЕ ДИСЦИПЛИНА ОЧЕРЕДИ?

 

Важным фактором при анализе систем обслуживания является дисциплина очереди, или принцип построения очереди, определяющие порядок, в соответствии с которым выбираются клиенты из очереди для обслуживания.

 

КАКОВЫ НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЧЕРЕДИ?

 

Наиболее распространенный принцип построения очереди основан на правиле «первым пришел – первым обслуживаешься». Это правило часто обозначается аббревиатурой FIFO (от английского «First-In-First-Out», т.е. «вошел первым – вышел первым»). Среди других правил, определяющих принципы построения очередей, укажем правило «последним пришел – первым обслуживаешься». Это правило обычно обозначается как LIFO (от английского «Last-In-First-Out»,  т.е. «последним вошел – первым вышел»). Также укажем дисциплину очереди, определяемую случайным правилом отбора клиентов. Кроме того, клиенты могут выбираться из очереди в соответствии с заданным приоритетом. Например, в производственном цехе срочные работы выполняются раньше обычных.  

 

ЗАМЕЧАНИЕ. При анализе систем с очередями важным фактором является также поведение индивидуума, нуждающегося в обслуживании. Такие индивидуумы, выступающие в роли клиентов, при наличии параллельного обслуживания могут перейти из одной очереди в другую в надежде сократить продолжительность своего вынужденного ожидания. Они могут также отказаться от ожидания в очереди, так как люди обычно не переносят длительного бездействия, или покинуть очередь, простояв в ней какое-то время и придя к выводу, что и так уж слишком много времени потеряно. 

 

КАК МОЖНО КЛАССИФИЦИРОВАТЬ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Любое исследование системы массового обслуживания (СМО) начи­нается с изучения того, что необходимо обслуживать, следова­тельно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

 

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:

 

- СМО с потерями (отказами),

 

- СМО с ожиданием.

 

В СМО с отказами требования (заявки) на обслуживание, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами явля­ется телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

 

В СМО с ожиданием заявка на обслуживание, застав все обслуживаю­щие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

 

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

 

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются систе­мами с ограниченным временем ожидания.

 

2.  По числу каналов обслуживания СМО делятся на

 

- одноканальные;

 

- многоканальные.

 

3. По месту нахождения источника требований

 

СМО делятся на:

 

- разомкнутые, когда источник требования находится вне системы;

 

- замкнутые, когда источник находится в самой системе.

 

ПРИМЕР 4. Примером разомкнутой системы может служить мастерская по обслуживанию и ремонту бытовой техники. Здесь неисправные устройства  — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограни­ченным.  К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, и,  следовательно, источником требований на их обслу­живание, например, бригадой наладчиков.

 

4. Источник, генерирующий «клиентов», подлежащих обслуживанию, может иметь конечную или бесконечную мощность. Источник конечной мощности ограничивает число клиентов, поступающих на обслуживание (например, в цехе, располагающем N станками, суммарное количество потенциальных заявок на их ремонт не превышает N). Наоборот, источник бесконечной мощности всегда имеет клиентов в «изобилии» (например, звонки, поступающие в службу технической поддержки клиентов банка). 

 

5. При исследовании эффективности работы системы обслужи­вания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания. Структура обслуживающей системы может включать один сервис (канал обслуживания) или несколько таких средств обслуживания, работающих параллельно (например, работа нескольких операторов  в отделении банка). Кроме того, сервисы (каналы обслуживания) могут быть расположены последовательно (например, обслуживание представляет собой комплекс работ, которые выполняются последовательно на различных станках). 

 

При параллельном расположении каналов обслуживания тре­бование (заявка) на обслуживание может быть обслужено любым свободным каналом.

 

Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслужи­вания совпадает с числом кассиров-контролеров.

 

Возможны и другие признаки классификации СМО, на­пример, по дисциплине обслуживания, однофазные и многофазные СМО и др.

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ХАРАКТЕРИЗУЮТ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

Одним из параметров входного потока заявок является интенсивность входящего потока заявок  λ;

 

К параметрам каналов обслуживания заявок относятся:  интенсивность обслуживания μ, число каналов обслуживания n. 

 

Параметрами очереди являются:  максимальное число мест в очереди L_max;   дисциплина очереди D («первым пришел – первым ушел» (FIFO); «последним пришел – первым ушел» (LIFO); с приоритетами; случайный выбор из очереди).

 

Если максимальная длина очереди L_max = 0 , то СМО является системой без очередей.

 

Если L_max = N₀,   где N₀>0 – некоторое положительное число, то СМО является системой с ограниченной очередью.

 

Если L_max → ∞, то СМО является системой с бесконечной очередью.

 

ЧТО ТАКОЕ ФАЗА ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

На практике часто обслуживание одной заявки осуществля­ется последовательно несколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания.

 

ПРИМЕР. Например, если в магазине самообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

 

Можно построить множество моделей систем массового обслуживания, варьируя перечисленные выше операционные характеристики систем. На этой лекции мы рассмотрим некоторые из таких моделей.

 

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО  ОБСЛУЖИВАНИЯ.

В большинстве систем массового обслуживания поступление клиентов происходит случайным образом. Это означает, что наступление события (например, поступление клиента или завершение обслуживания) не зависит от времени, прошедшего с момента наступления предыдущего события.  Время между последовательными поступлениями клиентов и время их обслуживания, будучи случайными, при моделировании систем массового обслуживания количественно описываются экспоненциальным распределением, плотность вероятности которого имеет вид: 

f(t)=λ•exp{– λ•t}, t>0,

где М(t)=1/λ. То, что экспоненциальное распределение является совершенно случайным, иллюстрируется следующим примером.

ПРИМЕР 5. Если сейчас 8:20 утра и некое событие имело место в 8:02 утра, то в соответствии с экспоненциальным законом распределения, вероятность того, что следующее аналогичное событие произойдет в 8:29, является функцией лишь интервала времени от 8:20 до 8:29,  и не зависит от интервала времени, прошедшего с момента наступления последнего события (от 8:02 до 8:20). Данное свойство экспоненциального распределения обычно называют отсутствием последействия или отсутствием памяти.  

 

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ СВОЙСТВО ОТСУТСТВИЯ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ?

 

Проиллюстрируем это свойство на следующем примере.

 

ПРИМЕР 6. При обслуживании сложного агрегата всегда имеется запасной блок для немедленной замены в случае поломки. Время выхода из строя агрегата (или его запасного блока) является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону, и в среднем происходит каждые 40 минут. Оператор, обслуживающий агрегат, утверждает, что агрегат «имеет привычку» выходить из строя каждый вечер около 8:30. Проанализируем утверждение оператора. 

 

Средняя интенсивность отказов агрегата равна 60/40=1,5  отказа в час. Следовательно, плотность экспоненциального распределения времени отказа имеет вид:

 

 f(t)=(1,5)•exp{(–1,5)•t}, t>0.  

 

Что касается заявления оператора, то и без вычислений видно, что оно не может соответствовать действительности, так как не согласуется с тем, что время между отказами агрегата распределено по экспоненциальному закону и, следовательно, является случайным.

Для подтверждения или опровержения заявления оператора нельзя использовать вероятность того, что отказ будет происходить в 8:30 вечера, так как вероятность такого события зависит от времени дня (относительно 8:30 вечера), когда эта вероятность вычисляется.  Например, если вычисления выполняются в 8:20 вечера, то вероятность того, что утверждение оператора окажется справедливым этим вечером, равна:

 

P(t<10\60)= 1 – exp{(- 1,5)•(10\60)}≈ 0,22;  

 

т.е. является очень малой. Если вычисления выполняются в 7:00 вечера, то вероятность того,

что отказ будет иметь место в 8:30, возрастает примерно до 0,9. Эти два крайних значения вероятности показывают, что достоверность утверждения оператора нельзя проанализировать на основе полученных вероятностей; в данной ситуации мы должны полагаться только на характеристики экспоненциального распределения (точнее, на его свойство отсутствия последействия).

 

КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ?

 
Чтобы уяснить свойства экспоненциального распределения, сформулируем основные утверждения, на которых базируется это распределение.  

 

Экспоненциальное распределение основано на следующих трех утверждениях.

 

1. Если N(t) – число событий, происшедших на протяжении интервала
времени (0, t), то вероятностный процесс, описывающий N(t), имеет независимые стационарные приращения; вероятность наступления события в интервале (T,Т+S) зависит лишь от его длины S.

2.  Вероятность того, что событие наступит на достаточно малом временном интервале h>0, положительна, но меньше 1.  

 

3. На достаточно малом временном интервале h>0 может осуществиться не более одного события, т.е. Р{N(h)>1}=0.

 

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ  МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

В данном разделе мы рассмотрим общие системы массового обслуживания, в которых имеется как входной поток клиентов, так и выходной поток обслуженных клиентов. Время между последовательными поступлениями клиентов и время обслуживания являются экспоненциально распределенными случайными величинами. Эта модель является основой при рассмотрении специализированных моделей Пуассона.   При рассмотрении общих систем массового обслуживания предполагается, что система функционирует в течение достаточно большого интервала времени, по истечении которого в ее работе наступает стационарный режим. Этот режим функционирования обслуживающей системы противопоставляется переходному (или неустановившемуся) режиму, который превалирует в самый начальный период функционирования системы. В этом разделе лекции  не рассматриваются переходные режимы работы систем массового обслуживания, поскольку, во-первых, это связано с серьезными математическими трудностями, а, во-вторых, на практике данные системы обычно предназначаются для работы в течение весьма длительного времени.  В рассматриваемой в этом разделе общей модели системы массового обслуживания предполагается, что и интенсивность поступления клиентов, и интенсивность выходного потока зависят от состояния системы, что означает их зависимость от числа клиентов в системе обслуживания. Например, сборщик платы за проезд по автомагистрали в часы  интенсивного движения стремится ускорить сбор пошлины. Или в мастерской с фиксированным количеством станков интенсивность их поломки убывает по мере возрастания числа аварийных станков, ибо лишь работающие станки могут выходить из строя. 

 

Введем следующие обозначения.

 

n –  число клиентов в системе обслуживания (в очереди и на обслуживании); 

 

λ_n – интенсивность поступления в систему клиентов при условии, что в системе уже находится n клиентов; 

 

μ_n – интенсивность выходного потока обслуженных клиентов при условии, что в системе находится n клиентов;

 

p_n – вероятность того, что в системе находится n клиентов.

В общей модели системы массового обслуживания устанавливается функциональная зависимость вероятностей p_n от  λ_n   и  μ_n . Эти вероятности используются затем при определении функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как средняя длина очереди, среднее время ожидания и средний коэффициент использования сервисов.
Вероятности p_n определяются из диаграммы интенсивностей переходов, представленной на рисунке 2.

 

Рисунок 2. Диаграмма интенсивностей переходов.

Обслуживающая система находится в состоянии n, если в ней имеется n клиентов. Из аксиом пуассоновского процесса, приведенных в теореме 1, следует, что вероятность появления более одного нового клиента на протяжении малого промежутка времени h стремится к нулю при h→0. Это означает, что при n>0 состояние n может быть изменено в двух возможных направлениях: (n – 1), когда с интенсивностью μn обслуженный клиент выбывает из системы, и (n+1), когда имеет место поступление клиента с интенсивностью λn. Состояние 0 может измениться лишь к состоянию 1, когда имеет место поступление клиента с интенсивностью λ₀. Заметим, что μ₀ не определено, так как не может происходить выбывания клиентов из пустой системы обслуживания. При выполнении условий стационарности ожидаемые интенсивности входного и выходного потоков в состоянии n (n>0) должны быть равны. Так как состояние n может изменяться лишь к состояниям (n – 1) и (n+1), отсюда следуют равенства.

 

{Ожидаемая интенсивность входного потока в состоянии n}

 

=λ_n-1•p_n-1+μ_n+1•p_n+1.

 

Аналогично,  

 

{Ожидаемая интенсивность  выходного потока в состоянии n}

 

=(λ_n +μ_n)•p_n.

 

Отсюда, приравнивая эти две интенсивности, получаем следующее уравнение баланса.

 

 λ_n-1•p_n-1 +μ_n+1•p_n+1= (λ_n +μ_n)•p_n, n =1, 2, … (1)

 

Как видно из рисунка 2, уравнение баланса, соответствующее n=0, имеет вид:

 λ₀•p₀ = μ₁•p₁.

Уравнения баланса (1) разрешаются рекуррентно.

 

Последовательно выражая вероятности р1 через p0 следующим образом.

 

Для n=0 имеем: 

 

р₁= [λ₀\μ₁]•p₀.

 

Далее, для n=1 из (1) получаем:

 

λ₀•p₀ +μ₂•p₂= (λ₁ +μ₁)•p₁.  

 

Подставляя сюда р₁=[λ₀\μ₁]•p₀  и упрощая полученное выражение, имеем:

 

р₂= [(λ₁•λ₀)\(μ₂•μ₁)]•p₀.  

 

Методом математической индукции можно показать, что  

 

р_n= [(λ_n-1•λ_n-2•… •λ₀)\(μ_n•μ_n-1•… •μ₁)]•p₀, n=1, 2, …  

 

Значение p₀ определяется из уравнения:

 

∞

∑  p_n =1.

n=0

 

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ. 

 
На рисунке 3 схематически представлена специализированная система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно функционируют с идентичных сервисов (каналов обслуживания). Ожидающий клиент выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном сервисе. Интенсивность поступления клиентов в систему равна λ клиентов в единицу времени. Все параллельные сервисы являются идентичными; это означает, что интенсивность обслуживания каждого сервиса равна μ клиентов в единицу времени. Число клиентов, находящихся в системе обслуживания, включает тех, кто уже обслуживается, и тех, кто находится в очереди.

 

Рисунок 3. Специализированная система массового обслуживания пуассоновского типа.

Обозначения, наиболее подходящие для характеристик системы обслуживания (рисунок 3), имеют следующую структуру:  

 

(а/b/c):(d/e/f),

где использованы следующие обозначения.

a – тип распределения моментов времени поступления клиентов в систему;

 

b –  тип распределения времени между появлением элементов выходного потока (времени обслуживания);

c –  количество параллельно работающих сервисов (=1 , 2, ..., ∞);

d –  дисциплина очереди;

 

е – максимальная емкость (конечная или бесконечная) системы (количество клиентов в очереди плюс число клиентов, принятых на обслуживание сервисами); 

 

f –  емкость (конечная или бесконечная) источника, генерирующего клиентов.

Стандартными обозначениями для типов распределений входного и выходного потоков (символы a и b) являются следующие.

 

М –  марковское (или пуассоновское) распределение моментов поступления клиентов в систему или их выхода из нее (или эквивалентное экспоненциальное распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания клиентов);
D – детерминированный (фиксированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему клиентов или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания клиентов;

 

Еk – распределение Эрланга, или гамма-распределение интервалов времени (или, что то же самое, распределение суммы независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение);

GI – произвольный (общий) тип распределения моментов поступления клиентов на обслуживание;

G – произвольный (общий) тип распределения продолжительности обслуживания клиентов.

Для дисциплины очереди (символ d) используются следующие обозначения.

 

FCFS – «первым пришел – первым обслуживаешься»;  

 

LCFS – «последним пришел – первым обслуживаешься»; 

 

SIRO –  случайный отбор клиентов;  

 

GD –  произвольный (общий) тип дисциплины.

ПРИМЕР 7. Для иллюстрации рассмотрим структуру системы обслуживания, которая соответствует модели (М/D/10):(GD/N/∞).

 

В соответствии с принятыми обозначениями здесь речь идет о системе (и, соответственно, модели) массового обслуживания с пуассоновским входным потоком (или экспоненциальным распределением интервалов времени между моментами последовательных поступлений клиентов); с фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирующими сервисами. При этом дисциплина очереди не регламентирована, и максимальное количество допускаемых в систему клиентов равно N. Наконец, источник, порождающий клиентов, имеет неограниченную емкость.

ЗАМЕЧАНИЕ. В качестве исторической справки заметим, что первые три элемента (а/b/c) рассмотренного обозначения были введены Кендаллом (D.G. Kendall) в 1953 году, и в литературе по теории массового обслуживания (ТМО) они фигурируют как обозначения Кендалла. Позднее в 1966 году Ли (A.M.Lee) добавил к ним символы d и e. В 1968 году Х.А. Таха  ввел последний символ принятых обозначений f.

 

РАЗДЕЛ 3. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

В предыдущем разделе лекции основное внимание было сосредоточено на пуассоновских системах массового обслуживания. Однако в литературе по теории массового обслуживания рассматривается множество других моделей. В частности, системы массового обслуживания с приоритетами и системы обслуживания непуассоновского типа составляют существенную часть соответствующей научной литературы. С такими моделями можно познакомиться в большинстве специальных книг по теории массового обслуживания.  Рассмотрим некоторые модели принятия решений  в теории массового обслуживания.

 
В этом разделе мы рассмотрим  две модели принятия решений для определения подходящих уровней обслуживания для систем массового обслуживания:

 

(1) МОДЕЛЬ СО СТОИМОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ;

 

(2) МОДЕЛЬ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО УРОВНЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

УРОВЕНЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ в системе является функцией интенсивности обслуживания μ и количества с параллельно работающих сервисов (каналов обслуживания).

 

ЧТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ПОД ВЫСОКИМ УРОВНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

В обеих моделях более высокий уровень обслуживания подразумевает уменьшение времени ожидания в системе. В этих моделях для поиска равновесия между конфликтующими факторами (уровнем обслуживания и временем ожидания в системе) используются функциональные показатели обслуживающей системы, которые получены ранее для различных моделей.

 

МОДЕЛЬ СО СТОИМОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ.  

 

Модели со стоимостными характеристиками стремятся уравновесить два конфликтующих стоимостных показателя.   

 

1. Затраты на обслуживание.

 

2. Потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг (время ожидания клиента).

Эти два вида затрат конфликтуют между собой, так как увеличение одного из них автоматически ведет к уменьшению другого и наоборот (см.:  рисунок 4). 

 

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ГЛАВНАЯ ПРОБЛЕМА ПРИМЕНЕНИЯ СТОИМОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ?

 

На рисунке 4 изображена типичная стоимостная модель системы обслуживания, где затраты на обслуживание (выраженные в долларах за единицу времени) возрастают с ростом его уровня. В то же время потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг, уменьшаются с возрастанием уровня обслуживания.  Главной проблемой, связанной с применением стоимостных моделей, является трудность оценки потерь в единицу времени, обусловленных задержками в предоставлении услуг. В частности, это особенно ощутимо, когда услуги предоставляются индивидууму, чье поведение может не совпадать с интересами функционирования системы обслуживания. 

 

Рисунок 4. Стоимостная модель системы обслуживания.

Пусть уровень обслуживания представляет переменная х, равная μ (интенсивности обслуживания) или с (количество параллельно работающих сервисов). Тогда модель со стоимостными характеристиками можно представить в следующем виде:

СОС(х) = СТС(х) + СТО(х), где

СОС – средняя общая стоимость в единицу времени;  

 

СТС – средняя стоимость обслуживания в единицу времени;

 

СТО – средняя стоимость ожидания в единицу времени.  

 

Простейшим видом функций СТС и СТО являются линейные функции

 

СТС(х)=С₁•х;  СТО(х)=С₂•Ls,

где

С₁ – удельная стоимость на единицу х в единицу времени; 

 

С₂ – «цена» ожидания в единицу времени на (ожидающего) клиента;

 

Ls – среднее число находящихся в системе клиентов. 

 

МОДЕЛЬ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО УРОВНЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

Жизнеспособность модели обслуживающей системы со стоимостными характеристиками зависит от того, насколько хорошо мы можем оценить параметры стоимости. В общем случае оценить эти параметры довольно сложно, особенно, если стоимость связана с ожиданием клиента. В моделях с предпочтительным уровнем обслуживания делается попытка обойти эту проблему, оперируя непосредственно функциональными показателями обслуживающей системы. Идея состоит в определении приемлемого интервала изменения для уровня обслуживания (параметры μ или с) путем нахождения разумных пределов для конкурирующих экономических показателей, которые характеризуют процесс обслуживания. Эти пределы представляют собой уровни предпочтительного обслуживания, которых стремится достичь лицо, принимающее управленческое решение.

 

Проиллюстрируем применение этой процедуры для модели системы обслуживания с несколькими сервисами (каналами обслуживания), в которой необходимо определить количество сервисов с.

 

Для этого рассмотрим два (конкурирующих) экономических показателя процесса обслуживания.   

 

1 . Среднее время ожидания в системе Ws;

 

2. Процент простоя сервисов (каналов обслуживания) Х.  

 

Задача сводится к определению такого количества сервисов с, что  Ws ≤α  и Х ≤β,  где α и β – уровни предпочтительного обслуживания, определенные лицом, которое принимает решение. Например, можно поставить условие, что α=3 минуты и β=10%.

Решение задачи можно найти, построив графики Ws  и Х как функции количества сервисов с, как показано на рисунке 5. Отмечая на графиках значения α и β,  мы определяем приемлемый интервал изменения для уровня обслуживания с. Если оба упомянутых выше условия нельзя удовлетворить одновременно, необходимо ослабить один или оба уровня предпочтительности, пока не будет получен приемлемый интервал изменения количества сервисов (каналов обслуживания).

 

 

 

Рисунок 5. Определение оптимального количества сервисов.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. В стоимостной модели системы обслуживания в общем случае трудно оценить стоимостный параметр С₂ (стоимость ожидания). Может быть полезным вычисление стоимости ожидания С₂, предполагаемое уровнями предпочтительности обслуживания. В этом случае считаем, что значение С₁ известно. Используя модель предпочтительного уровня обслуживания для определения числа с, можно оценить предполагаемое значение С₂.

ВЫВОД. Теория массового обслуживания позволяет строить модели для анализа функционирования обслуживающих систем, когда входной и выходной потоки клиентов являются случайными. Важную роль в теории массового обслуживания играют пуассоновское и экспоненциальное распределения вероятностей. Разумеется, модели систем обслуживания могут анализироваться также с использованием других вероятностных распределений, однако возникающие при этом математические задачи обычно неразрешимы  в аналитическом виде.  Анализ систем обслуживания, по существу, не решает самих задач. Он лишь позволяет определить функциональные показатели обслуживающей системы, которые могут затем использоваться в рамках некоторых моделей принятия решений.