Лекция № 1

Нечеткая логика

Содержание лекции:

1. Понятие нечеткой логики.
2. Операции с нечеткими множествами.
3. Лингвистическая переменная.
4. Нечеткое число.

1. 1.     Понятие нечеткой логики

Нечеткая логика является многозначной логикой, что позволяет определить промежуточные значения для таких общепринятых оценок, как да|нет, истинно|ложно, черное|белое  и т.п. Выражения подобные таким, как слегка тепло  или довольно холодно возможно формулировать математически и обрабатывать на компьютерах. Нечеткая логика появилась в 1965 в работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли.

Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.

Нечеткая логика – раздел математики, являющийся новой мощной технологией.

Нечеткая логика возникла как наиболее удобный способ построения систем управления метрополитенами и сложными технологическими процессами, а также нашла применение в бытовой электронике, диагностических и других экспертных системах. Несмотря на то, что математический аппарат нечеткой логики впервые был разработан в США, активное развитие данного метода началось в Японии, и новая волна вновь достигла США и Европы. В Японии до сих пор продолжается бум нечеткой логики и экспоненциально увеличивается количество патентов, большая часть которых относится к простым приложениям нечеткого управления.

Термин fuzzy (англ.  нечеткий, размытый - произносится 'фаззи') стал ключевым словом на рынке. Статьи по электронике без нечетких компонент постепенно исчезали и пропали совсем, как будто кто-то закрыл кран. Это показывает насколько стала популярной нечеткая логика; появилась даже туалетная бумага с напечатанными на ней словами "Fuzzy Logic".

В Японии исследования в области нечеткой логики получили широкую финансовую поддержку. В Европе и США усилия были направлены на то, чтобы сократить огромный отрыв от японцев. Так, например, агентство космических исследований NASA стало использовать нечеткую логику в маневрах стыковки.

Таким образом, нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

2. Операции с нечеткими множествами 

Определение и основные характеристики

нечетких множеств

Нечеткое множество (fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {µ_A(х)/х}, где

µ_A(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {µ_A(х)/х}, где

µ_A(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

µ_A(x₁)=0,3;

µ_A(x₂)=0;

µ_A(x₃)=1;

µ_A(x₄)=0,5;

µ_A(x₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄; 0,9/x₅ } или

A = 0,3/x₁ + 0/x₂ + 1/x₃ + 0,5/x₄ + 0,9/x₅, или

Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

Величина µ_A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (µ_A(x)=1). При µ_A(x) <1 нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если  µ _A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле _A(x) = . 

Нечеткое множество унимодально, если µ _A(x)=1 только на одном x из E.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством µ_A(x)>0, т.е. носитель A = {x/µ_A(x)>0} , xE.

Элементы xE, для которых µ_A(x)=0,5 называются точками перехода множества A.

Примеры нечетких множеств

1) Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

2) Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество "малый" можно определить:

"малый" = .

3) Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью

4) Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности µ_{"молодой"}(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

µ _{"молодой"} (Сидоров)= µ _{"молодой"} (x), где x - возраст Сидорова.

5) Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0, ∞) - универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа:

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит следующим образом:

Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные", "средние", "тихоходные" и т.д.

Функции принадлежности нечетких множеств

и методы их построения

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xE значение µ_A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает µ _A(x)  [0,1], формируя векторную функцию принадлежности { µ _A(x₁), µ _A(x₂),... µ _A(x₉)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый" или "этот человек не лысый", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение µ_"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, µ _A(x_i) = w_i, i=1,2,...,n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij=w_i /w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1/a_ij, т.е. если один элемент оценивается в n раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/n раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А_w = λ_maxw, где λ_max - наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «расход теплоносителя небольшой». Объект x – расход теплоносителя, x0; x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Эксперту предъявляются различные значения расхода теплоносителя x и задается вопрос: с какой степенью уверенности 0 ≤ μ _A (x) ≤ 1 эксперт считает, что данный расход теплоносителя x небольшой. При μ _A (x) = 0 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x небольшой. При μ _A (x) = 1 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x нельзя классифицировать как небольшой.

Операции над нечеткими множествами

Включение.

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если .

Обозначение: .

Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство.

A и B равны, если "xÎE m_A(x) = m_B (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение.

Пусть М = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"xÎE m_A(x) = 1 - m _B(x).

Обозначение:  или .

Очевидно, что . (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение.

AÇB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

mAÇB(x) = min( m_A(x), m _B(x)).

Объединение. 

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

mAÈ B(x) = max(m_A(x), m _B(x)).

Разность.

А - B = АÇ с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = mA Ç (x) = min( m_A(x), 1 - m _B(x)).

Дизъюнктивная сумма. 

АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç) È(Ç B) с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = max{[min{m _A(x), 1 - m_B(x)}];[min{1 - m_A(x), m_B(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0,4/ x₁ + 0,2/ x₂+0/ x₃+1/ x₄;

B = 0,7/ x₁+0,9/ x₂+0,1/ x₃+1/ x₄;

C = 0,1/ x₁+1/ x₂+0,2/ x₃+0,9/ x₄.

Здесь:

AÌB, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

 = 0,6/ x₁ + 0,8/x₂ + 1/x₃ + 0/x₄;

 = 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0,9/x₃ + 0/x₄.

AÇB  = 0,4/x₁ + 0,2/x₂ + 0/x₃ + 1/x₄.

АÈВ  = 0,7/x₁ + 0,9/x₂ + 0,1/x₃ + 1/x₄.

А - В = АÇ  = 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0/x₃ + 0/x₄;

В - А = Ç В = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 0,1/x₃ + 0/x₄.

А Å В = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 0,1/x₃ + 0/x₄.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

   Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m_A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней - даны , AÇ , AÈ .

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

 - коммутативность;

 - ассоциативность;

 - идемпотентность;

 - дистрибутивность;

AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0 ">xÎE;

AÇÆ = Æ;

AÇE = A, где E - универсальное множество;

AÈE = E;

 - теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AÇ ¹ Æ,

AÈ ¹ E.

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".

Расстояние между нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния r(A, B) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r(A, B) ³ 0  - неотрицательность;

r(A, B) = r(B, A) - симметричность;

r(A, B) < r(A, C) + r(C, B).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A) = 0.

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B) = , e(A, B)Î[0, ].

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.

0<m_A(x)<1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R", и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. m_A(x) = (x) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо m_A(x) = 1 и (x) = 0, либо m_A(x) = 0 и (x) = 1.

3. Лингвистическая переменная

В нечеткой логике значения любой величины представляются не числами, а словами естественного языка и называются ТЕРМАМИ. Так, значением лингвистической переменной ДИСТАНЦИЯ являются термы ДАЛЕКО, БЛИЗКО и т. д.

Конечно, для реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения ее термов. Пусть, например, переменная ДИСТАНЦИЯ может принимать любое значение из диапазона от 0 до 60 метров. Как же нам поступить? Согласно положениям теории нечетких множеств, каждому значению расстояния из диапазона в 60 метров может быть поставлено в соответствие некоторое число, от нуля до единицы, которое определяет СТЕПЕНЬ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ данного физического значения расстояния (допустим, 10 метров) к тому или иному терму лингвистической переменной ДИСТАНЦИЯ. В нашем случае расстоянию в 50 метров можно задать степень принадлежности к терму ДАЛЕКО, равную 0,85, а к терму БЛИЗКО - 0,15. Конкретное определение степени принадлежности возможно только при работе с экспертами. При обсуждении вопроса о термах лингвистической переменной интересно прикинуть, сколько всего термов в переменной необходимо для достаточно точного представления физической величины. В настоящее время сложилось мнение, что для большинства приложений достаточно 3-7 термов на каждую переменную. Минимальное значение числа термов вполне оправданно. Такое определение содержит два экстремальных значения (минимальное и максимальное) и среднее. Для большинства применений этого вполне достаточно. Что касается максимального количества термов, то оно не ограничено и зависит целиком от приложения и требуемой точности описания системы. Число же 7 обусловлено емкостью кратковременной памяти человека, в которой, по современным представлениям, может храниться до семи единиц информации.

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <α, X, A>, где

α - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения α),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ _A(x)) на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной называется набор <β ,T,X,G,M>, где

β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X.

Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TÈ G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической переменной β = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной < β, T, X, G, M>, где

β - толщина изделия;

T - {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};

X - [10, 80];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;

М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁="малая толщина", А₂ = "средняя толщина", А₃="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции над нечеткими множествами вида: А Ç В, АÈ В, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.

Продолжение примера:

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малая толщина" = А₁ , "средняя толщина"= А₂, " большая толщина"= А₃ .

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А₁?А₁.

4. Нечеткое число

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности m_A(x)Î[0,1], где x - действительное число, т.е. xÎR.  

Нечеткое число А нормально, если μ_A(x)=1, выпуклое, если для любых x≤y≤z выполняется μ_A(x)≥ μ_A(y)∩ μ_A(z).

Подмножество S_AÌR называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x/μ_A(x)>0}.

Нечеткое число А унимодально, если условие m_A(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

m_A(0) = (m_A(x)).

Нечеткое число А положительно, если "xÎS_A, x>0 и отрицательно, если "xÎS_A, x<0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

С = АB Ûm_C(z)=(m_A(x)Lm_B(y))).

Отсюда:

С = Ûm_C(z)=(m_A(x)Lm_B(y))),

С = Û m_C(z)=(m_A(x)Lm_B(y))),

С = Û m_C(z)=(m_A(x)L m_B(y))),

С = Û m_C(z)=(m_A(x)Lm_B(y))),

С = Û m_C(z)=(m_A(x)Lm_B(y))),

С = Û m_C(z)=(m_A(x)Lm_B(y))).

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Список литературы

1. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А.И.Орлов.- М.: Издательство «Экзамен», 2005. - 656 с.

2. Борисов А. Н., Кроумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. – Рига: Зинатве, 1990. – 184 с.

3. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике — М.: Финансы и статистика, 2000. — 368 с.

4. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986. — 312 с.

5. Боросов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинанте, 1990.

6. Вопросы анализа и процедуры принятия решений/Под ред. И.Ф. Шахнова. М.: Мир, 1976.

7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/Пер, с франц. М,: Радио и связь, 1982.

9. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.

10. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175.

http://nrsu.bstu.ru/chap23.html