ЭКОНОМЕТРИКА
Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Становление и развитие эконометрики происходили на основе так называемой высшей статистики, когда в уравнение регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени.
В ряде случаев это необходимо для отражения свойства оптимальности экономических переменных, т.е. наличия значений, при которых достигается минимальное или максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения в почву удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности, а по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение.
В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.
Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x, т.е. модель вида
,
где y – зависимая переменная (результативный признак);
x – независимая переменная (признак-фактор).
Множественная регрессия соответственно представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т.е. модель вида
.
Простая регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Однако когда уверенности в правомерности такого допущения нет, необходимо использовать модель с большим числом факторов. Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства и целого ряда других вопросов эконометрики. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
Линейная модель множественной регрессии
В линейной множественной регрессии
(1)
параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего параметра на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Пример. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:
,
где y – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.;
x1 – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;
x2 – размер семьи, человек.
Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Первый параметр не подлежит экономической интерпретации.
Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на методе наименьших квадратов (МНК).
Этот метод позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:
. (2)
Чтобы найти минимум функции (2), надо вычислить производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю, т.к. равенство нулю производной – необходимое условие экстремума. В результате получается система уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.
Так, для уравнения (1) система нормальных уравнений имеет вид:
(3
Решение системы (3) может быть осуществлено по одному из известных способов: Метод Гаусса, метод Крамера и т.д.
Пример. По четырем предприятиям региона (см. табл.) изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Требуется написать уравнение множественной регрессии.
Номер предприятия
1
2
3
4
, (%)
1
2
3
5
, (%)
0
1
3
4
, (тыс. руб.)
6
11
19
28
Решение
Предположим, что зависимость выработки продукции на одного работника характеризуется следующим уравнением:
.
На основании исходных данных составляем систему уравнений для определения коэффициентов и .
;
; ;
;
;
; ;
.
Решим эту систему по методу Крамера. Вычисляем определитель системы:
Аналогично вычисляем частные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов:
; ; .
Коэффициенты уравнения определяются по формулам:
Таким образом, уравнение имеет вид:
.
Возможен и иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
, (4)
где - стандартизованные переменные: , для которых среднее значение равно нулю, а среднее квадратическое значение равно единице;
- стандартизованные коэффициенты регрессии.
Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида для определения стандартизованных коэффициентов регрессии.
. (5)
Следует отметить, что величины и называются парными коэффициентами корреляции и определяются по формулам
, . (6)
Решая систему (5) определяем стандартизованные коэффициенты регрессии. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.
Нелинейные модели регрессии и их линеаризация
При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются по МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным. Так, рассматривая степенную функцию
,
мы преобразовываем ее в линейный вид:
,
где переменные выражены в логарифмах.
Далее обработка МНК та же: строится система нормальных уравнений и определяются неизвестные параметры. Потенцируя значение , находим параметр a и соответственно общий вид уравнения степенной функции.
Вообще говоря, нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Эта оценка определяется, как и в линейной регрессии, МНК. Так, в двухфакторном уравнении нелинейной регрессии
может быть проведена линеаризация, введением в него новых переменных . В результате получается четырехфактороное уравнение линейной регрессии
.
Показатели качества регрессии
Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции.
Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как
, (7)
где - общая дисперсия результативного признака;
- остаточная дисперсия для уравнения .
Границы изменения величины - от 0 до 1. Чем ближе значение к единице, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:
.
При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение факторы малозначимы, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции.
Для вычисления индекса множественной корреляции можно пользоваться следующей формулой
.
Для линейного уравнения регрессии в стандартизованном масштабе формула индекса множественной корреляции может быть представлена в виде
. (8)
Пример. Для уравнения корреляции, полученного в предыдущем примере, вычислить индекс множественной корреляции и сравнить его с парными индексами корреляции.
Ранее были получены следующие значения:
; ; .
Тогда по формуле (8) получаем
.
Сравниваем индекс множественной корреляции с парными индексами корреляции:
.
Следовательно, включение обоих факторов в уравнение множественной регрессии является обоснованным.
Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью с помощью F-критерия Фишера:
, (9)
где - индекс множественной корреляции (тоже, что и );
- число наблюдений;
- число факторов.
Полученное по формуле (9) значение F сравнивается с табличным при уровне значимости . Если фактическое значение F-критерия Фишера превышает табличное, то уравнение статистически значимо с вероятностью . При использовании таблицы следует принимать .
Пример. Для уравнения корреляции, полученного в предыдущих примерах, вычислить значение F-критерия Фишера и определить статистическую значимость уравнения.
Ранее был вычислен индекс множественной корреляции . По формуле (9) получаем
.
По таблице определяем для значений :
Мы видим, что , а значит полученное уравнение корреляции является статистически значимым.
Предпосылки метода наименьших квадратов
В результате построения с помощью МНК уравнения регрессии получается не точное значение, а отличающееся от точного на некоторую величину :
.
После того как проведена оценка параметров модели, рассчитывая разности фактических и теоретических значений можно получить оценки случайной составляющей . В задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование остаточных величин.
Необходимость этого объясняется тем, что при использовании МНК предполагалось, что остатки представляют собой независимые случайные величины и их среднее значение равно 0; они имеют одинаковую (постоянную) дисперсию.
Таким образом, исследование остатков предполагают проверку наличия следующих предпосылок МНК
Случайных характер остатков
Для проверки строится график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан, а теоретические значения хорошо аппроксимируют фактические значения y. Пример случайности остатков приведен на рисунке:
Возможны различные случаи зависимости остатков от теоретических значений . Приведем примеры