Здравствуйте! продолжим изучение нашего курса " Имитационного моделирования".
Вторая тема называется " Основные понятия теории математического моделирования". И первый вопрос сегодня: " Требования к математическим моделям".
Эффективность моделирования во многом определяется качеством математического обеспечения, от того какие математические модели будут использоваться при, например, проектировании, на сколько совершенны методы и алгоритмы принятия решений зависят не только качество и сроки, разработки тех или иных изделий, но и также затраты на эти процессы. Опыт применения математического моделирования в научных исследования позволяет сформулировать ряд требования, которым должны удовлетворить ряд математических моделей. Назовем эти требования и дадим краткие пояснения по их существу.
Первое требования к модели - это точность модели. Как математическим моделям, так и алгоритму принятия проектных решений на определенных этапах предъявляются требования точности. Что же называют точностью? Под точностью понимают свойства, отражающие степень совпадения расчетных и реальных результатов. Например, алгоритм определения оптимального значения некоторого параметра проектирования может дать решение , либо близкое к истине, либо существенно отличающееся от него. В последнем случае, если расхождение превышает допустимое значение - алгоритм не обеспечивает требуемой точности. То в этом случае его необходимо или доработать, или заменить другим. Однако, чрезмерное стремление к точности математических моделей может привести к другому нежелательному явлению. Модель станет громоздкой, трудно реализуемой. Следовательно, при построении модели, с одной стороны, надо стремится к ее возможному упрощению, а с другой - не утратить при этом существенно точности представления действительности.
Вторым требованием к математическим моделям является требование надежности. Если с помощью построенного алгоритма, в некоторых случаях решение вообще получить почти невозможно, то говорят о ненадежности алгоритма. Также по аналогии можно дать определение и ненадежной математической модели.
Математическая модель считается ненадежной, если небольшие погрешности в определении исходных данных приводит к большому разбросу результатов счета. Т.е. таким свойством обладают плохо обусловленные модели. Следовательно, моделирование необходимо выбирать, чтобы для рассматриваемого класса задач они обеспечивали сходимость к решению. И избегать те из них, которые не имеют строгого обоснования применимости.
Третьим требованием к математическим моделям является требование экономичности. Экономичность определяется затратами машинного времени, необходимого для вычисления при использовании выборных математических моделей и алгоритмов. Другим важным показателем экономичности является требуемая машинная память. Затраты памяти определяется в первую очередь сложностью используемых моделей и методов, а также объемы необходимой для них исходной информации. Поэтому при разработке математических моделей всегда стремятся получить модели и алгоритмы, которые проще всего приводят к искомому решению.
И наконец, четвертым требованием, предъявляемым к математическим моделям является требование универсальности. Под универсальностью математической модели понимают возможность применения к однотипным объектам, без существенной перестройки моделей и алгоритмов.
Следует заметить, что перечисленные требования не являются в целом совместно выполнимыми. Например, требование точности и экономичности противоречивы. Так, повышение точности математической модели, как правило, достигается за счет увеличения числа учитываемых факторов. А это приводит к возрастанию количества переменных моделей соотношения между ними. Последний неизбежно ведет к увеличению затрат, как машинного времени, так и требуемой памяти. Таким образом, далеко не так просто найти компромисс между указанными требованиями.
Итак, мы с Вами определили четыре основных требования к математическим моделям. Напоминаю, это точность, надежность, экономичность и универсальность.
Часто перечисленные требования являются противоречивыми. И в целом не совместимыми, поэтому на практике часто пытаются найти компромисс между указанными предъявляемыми требованиями к математическим моделям.
Второй вопрос, который мы с Вами рассмотрим по этой теме сегодня будет звучать так: "Принципы математического моделирования". Рассмотрим основные принципы математического моделирования, которые в сжатой форме отражает тот опыт, который накоплен к настоящему времени в области разработки и использования математических моделей.
Итак, первый принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе, построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе, или об объекте ее моделирование лишено смысла. Поэтому всегда существует некоторый критический уровень априорных сведений об исследуемом объекте или процессе, при достижении которого может быть построена адекватная модель.
Второй принцип - принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования, с вероятностью существенно отличающийся от нуля, причем за конечное время. Обычно создают некоторое пороговое значение, вероятности достижения цели моделирования, а так же приемлемую границу времени достижения этой цели. Модель считают осуществимой, если, одновременно выполняются два неравенства. А именно, при вероятности достижения цели моделирования больше порогового значения, время для достижения этой вероятности меньше должно быть граничного значения времени достижения этой цели. В этом заключается принцип осуществимости - соблюдение этих двух неравенств.
Третий принцип - принцип множественности моделей. Т.е. это принцип третий отнюдь не по его важности, это всего лишь его порядковый номер. Данный принцип является ключевым. Речь в этом принципе идет о том, что создаваемая модель должна отражать, в первую очередь, те свойства реального объекта или явления, которые влияют на выборный показатель эффективности. Соответственно при использовании
любой конкретной модели познается лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемые процесс или явление.
Четвертый принцип называется принципом агрегирования. В большинстве случаев, сложные объекты или сложный процесс можно представить состоящим из агрегатов или подсистем для адекватного математического описания, которых оказываются пригодными некоторые стандарты и математические схемы. О них в будущем мы с Вами поговорим подробно. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель, в зависимости от задач исследования.
Пятый принцип - принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, которые характеризуется определенным параметрам, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменить на модели, соответствующие числовыми величинами, а не описывать их процесс функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от конкретной ситуации, может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (т.е. формулы). Этот принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования, однако при этом следует иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели. Итак, принцип параметризации применяется в случае, если моделируемый объект или процесс имеет в своем составе некоторые относительно изолированные компоненты, характеризующиеся определенным параметрам, в том числе в векторным. Такие подсистемы или компоненты может заменять модели, соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования.
А в качестве вывода по второму вопросу заметим, что степень реализации перечисленных принципов в каждой конкретной модели может быть различной. Причем это может зависеть не только от желания разработчика, но и от соблюдения им технологии моделирования. А любая технология, Вы, конечно, помните, предполагает наличие определенной последовательности действий. Сделаем небольшой перерыв.
Продолжим. Третьим вопросом по нашей теме будет "Технологии компьютерного моделирования". В дальнейшем при изучении нашего курса, под термином компьютерное моделирование будем понимать математическое моделирование, с использованием средств вычислительной техники. Т.е. мы будем вкладывать такой смысл в этот термин. технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующий действий. Приведем их перечень, а затем разберемся с содержанием этих действий.
Итак, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий.
Первое, определение целей моделирования. Во вторых, разработка концептуальной модели. В третьих, формализация модели. В четвертых, программная реализация модели. Пятое действие, планирование модельных экспериментов. Шестое действие, реализация плана эксперимента. И наконец, анализ и интерпретация результатов моделирования.
Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода положенного в основу моделирования. И даже наоборот, их результат определяет выбор метода. А вот реализация остальных этапов существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели. При случае использования аналитического или при случае использования имитационного моделирования.
При аналитическом моделировании, я напомню, предполагается использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, а также дополненных системой ограничения. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры, получения точного решения уравнений.
При имитационном моделировании, используемая математическая модель воспроизводит логику или алгоритм функционирования реального объекта. Причем это функционирование рассматривается во времени, при различных сочетаниях значений параметров реального объекта и параметров внешней среды.
Очевидно, в одних случаях предпочтительно является аналитическое моделирование, в других имитационное.
Чтобы выбор того или иного вида моделирования был удачным необходимо ответить на два вопроса. С какой целью проводится моделирование? И к какому классу может быть отнесено моделируемое явление? Ответы на оба этих вопросов могут быть получены в ходе выполнения первых двух этапов моделирования. Рассмотрим эти этапы. Поэтому следующим вопросом у нас будет "Определение целей моделирования".
При разработке конкретной модели, цель моделирования должна уточняться, с учетом использования критерия эффективности. Итак, для критерия пригодности модель, как правило, должна обеспечивать расчет значения показателя эффективности, для множества допустимых стратегий.
При использовании критерия оптимальности, модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающих экстремальное значение показателей эффективности.
Таким образом, цель моделирования определяется, целью исследуемой операции. Но с другой стороны определяется планируемым способом использования результатов исследования. Приведем пример определения целей моделирования.
Пусть проблемная ситуация, требующая принятия решения, формулируется следующим образом: найти вариант построения вычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью при соблюдении требований производительности и надежности. В этом случае целью моделирования является нахождение параметров сети, обеспечивающих минимальное значение показателей эффективности, в роли которого выступает стоимость.
Однако, задача могла быть сформулирована иначе. Например, из нескольких вариантов конфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесь в качестве показателей эффективности выбирается один из показателей надежности. Например, как средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы. Целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.
Т.е. мы с Вами определили с целью моделирования. Вторым этапом моделирования любого объекта или процесса является разработка концептуальной модели. Поэтому давайте мы с Вами запишем теперь следующий вопрос, который будет звучать так: "Разработка концептуальной модели".
Приведенные в прошлом разделе примеры, позволяет нам напомнить о том, что сам по себе выбор показателя эффективности еще не определяет архитектуру будущей модели. Поскольку на этом этапе не сформулирована ее концепция. Или, как говорят, не определена концептуальная модель исследуемого объекта.
Что же называют концептуальной или содержательной моделью? Дадим ей определение. Итак, концептуальная или содержательная модель - это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения целей моделирования.
Построение концептуальной модели включает следующие этапы. Определение типа системы - первый этап. Вторым этапом является описание рабочей нагрузки. И третьим этапом является декомпозиция объекта системы или процесса , будет зависеть за что мы будем брать исследуемы объект. Рассмотрим немного подробнее содержание этих этапов.
На первом этапе определение типа исследуемого объекта, процесса, явления осуществляется сбор фактических данных. Например, на основе работы с литературой, технической документацией, проведения каких - либо натурных экспериментов, сбор экспертной информации, а также гипотез относительно значений параметров и переменных, для которых отсутствует возможность получения фактических данных. Если полученные результаты соответствуют принципам информационной достаточности и осуществимости, то они могут служить основой для отнесения моделируемого объекта к одному из известных типов.
Наиболее важными в этом отношении классификационные признаки мы рассмотрим ниже.
Например, одним из них является мощность множества состояний моделируемого объекта. По этому признаку моделируемые объекты делят на статические (очевидно, когда состояние моделируемого объекта единственное) и динамические (когда предстоит исследовать целый спектр состояний моделируемого объекта, причем функции времени. Т.е. система или объект или процесс называется статическим, если множество ее состояний содержит один элемент. И наоборот, если таких состояний больше одного, то моделируемый объект относится к классу динамических.
Различают два основных типа динамических объектов. Первый тип с дискретными состояниями (когда множество состояний конечно или счетно) и объекты с непрерывным множеством состояний. Т.е. когда, надеюсь это понятно, множество состояний бесконечны. Возможны смешанные случаи.
Процесс смены состояний, в случае моделирования динамических объектов называется движением объекта. Смена состояний объекта может происходить либо в фиксированные моменты времени, множество которых дискретно и заранее определено. Например, поступление новых партий на склад, либо же может происходить непрерывно. Например, когда происходит в случае изменения курсов валют в ходе торгов.
При этом различают детерминированные объекты или процессы и стохастические. Для детерминированных объектов новое состояние зависит только от времени и текущего состояния. Другими словами, если имеются условия, определяющие переход объекта или процесса в новое состояние, то для детерминированного объекта можно однозначно указать, когда именно в такое состояние он перейдет.
Для стохастических объектов или процессов можно указать лишь множество возможных состояний перехода и, в некоторых случаях, вероятности перехода в каждое из этих состояний.
Рассмотренная схема классификаций важна сама по себе. На этапе разработки концептуальной модели она во первых, позволяет уточнить цели и задачи моделирования и, во-вторых, облегчает переход к этапу формализации модели. Кроме того, значительно позже, на этапе оценки качества разработанной модели, знание классификационных признаков дает возможность оценить ее соответствия первоначальному замыслу разработчика.
Необходимо отметить, что рассмотренные классификационные признаки применимы и для определения типа разрабатываемой модели. При этом исследуемый объект или процесс и его модель могут относиться как к одному, так и к разным классам. Например, реальная система или процесс может быть подвержен воздействию случайных факторов и, соответственно, будет относиться к классу стохастических систем. Но если разработчик модели считает, что влиянием этих факторов можно пренебречь, то создаваемая модель будет представлять собой детерминированную модель. Аналогичным образом возможно отображение системы с непрерывным временем, которой смены состояний в модель, определяется с дискретными переходами.
Разумеется, принадлежность реального объекта к его классу говорит о корректности модели. Однако, с точки зрения интересов исследователя такое "зеркальное отображение" далеко не всегда является полезным (вспомните принцип множественности моделей). Подробнее этот вопрос будет рассмотрен при обсуждении этапа декомпозиции объекта.
Во вторых, при исследовании эффективности операции весьма важную роль играет корректное описание условий ее протекания. Как правило, оно представляет собой перечень и характеристики внешних факторов, воздействующих на исполнительную подсистему, используемое лицо принимающего решения для достижения целей операции.
Если при сравнении различных стратегий другие виды материальных ресурсов не рассматриваются, то задача исследования эффективности операции может быть сформулирована, как задача оценки эффективности исполнительной подсистемы (в этом случае вместо условий проведения операции удобнее рассматривать рабочую нагрузку соответствующей системы или соответствующего объекта).
Итак, рабочая нагрузка - это совокупность внешних воздействий, оказывающих влияние на эффективность применения данной системы в рамках проводимой операции. Например, пусть оценивается производительность бортовой вычислительной системы при управлении полетом космического корабля. В качестве параметров рабочей нагрузки целесообразно рассматривать поток информации, подлежащей обработке, и поток отказов, приводящий к нарушению вычислительного процесса.
Оценки производительности такой вычислительной системы будет иметь смысл только в том случае, если известно, для какой рабочей нагрузки они получены. Такое утверждение справедливо для любой задачи принятия решения, к какой бы предметной области она ни относилась. Нельзя говорить о прочности моста, не указывая, на какую максимальную нагрузку он рассчитан; точно так же некорректно сообщать максимальную скорость автомобиля, не уточнив, в каких условиях она будет достигнута.
Описание рабочей нагрузки является не только важной, но и достаточно сложной задачей. Особенно в тех случаях, когда приходится учитывать влияние случайных факторов, или когда речь идет о рабочей нагрузке проектируемой принципиально нового объекта. В связи с этим многие авторы вводят понятие модели рабочей нагрузки, подчеркивая сопоставимость уровня сложности описания собственно моделируемого объекта и его рабочей нагрузки.
Модель рабочей нагрузки, таким образом, должна обладать следующими основными свойствами: во-первых, совместимостью с моделью объекта; во-вторых, представительностью, в третьих, управляемостью и наконец - системной независимостью.
Т.е. вот такие основные свойства рабочей нагрузки можно назвать. Что означают эти свойства?
Во-первых, свойство совместимости предполагает, что степень детализации описания рабочей нагрузки соответствует детализации описания моделируемого объекта.
Во-вторых, модель рабочей нагрузки должна быть сформулирована в тех же категориях предметной области, что и модель исследуемого объекта. Например, если в модели исследуется использование ресурсов, то рабочая нагрузка должна быть выражена в запросах на эти ресурсы;
Представительность модели рабочей нагрузки. Что означает это свойство? Представительность модели определяется ее способностью адекватно представить рабочую нагрузку в соответствии с целями исследования. Другими словами, модель рабочей нагрузки должна отвечать целям исследования системы. Например, если оценивается пропускная способность, должна выбираться рабочая нагрузка, "насыщающая" объект моделирования.
Третье свойство - управляемость рабочей нагрузки - под ней понимается возможность изменения параметров модели в некотором диапазоне, определяемом целями исследования.
И наконец, четвертое свойство - системная независимость – это возможностью переноса модели РН с одного объекта системы на другой с сохранением ее представительности.
И наконец, обратимся к завершающему этапу, построение концептуальной модели - ее декомпозиции. Декомпозиция объекта производится исходя из выбранного уровня детализации модели, который, в свою очередь, определяется тремя факторами, итак какими же факторами определяется декомпозиция модели: во-первых, целями моделирования; во-вторых, объемом априорной информации об исследуемом объекте и требованиями к точности и достоверности результатов моделирования. Уровни детализации модели иногда называют стратами, а процесс выделения уровней - стратификацией.
Какое же правило декомпозиции стоит заметить для моделирования?
Детализация модели должна производиться до такого уровня, чтобы для каждого элемента моделируемого объекта были известны или могли быть получены зависимости его выходных характеристик от входных воздействий, существенные с точки зрения выбранного показателя эффективности.
Повышение уровня детализации описания объекта позволяет получить более точную его модель, но усложняет процесс моделирования, что ведет к росту затрат и времени на его проведение. Например, если моделируется дискретный объект или процесс, то более детальное его описание означает увеличение числа различных состояний этого объекта, учитываемых в модели, и, как следствие - неизбежный рост вычислений. Поэтому при выборе уровня описания объекта целесообразно руководствоваться следующим правилом: итак, правило выбора уровня описания исследуемого объекта - в модель должны войти все параметры, которые обеспечивают определение интересующих исследователя характеристик объекта на заданном временном интервале его функционирования; остальные параметры по возможности следует исключить из модели. При имитационном моделировании, следует заметить, для оценки выбранного уровня детализации можно использовать специальные критерии. Например, первый такой критерий - это отношение реального времени функционирования объекта или процесса к времени моделирования (т. е. фактически к затратам машинного времени, необходимого на проведение модельного эксперимента). Например, если при одних и тех же подходах к программной реализации модели моделирование одного часа реального времени требует 3 минуты машинного времени, а в другом - 10 минут, то во втором случае степень детализации описания выше (т.е. соответственно три к одному).
Второй критерий для имитационного моделирования - это разрешающая способность модели, в том числе разрешающая способность по времени, которая может быть определена как кратчайший интервал модельного времени между соседними событиями. И второй вариант реализации этого критерия - это разрешающая способность по информации по информации , т.е. наименьшая идентифицируемая порция информации, представленная в модели (это может быть слово, страница, программа, задание).
И третий критерий – это число различных моделируемых состояний объекта или процесса (или типов событий в них). Для тех компонентов, относительно которых известно или предполагается, что они сильнее влияют на точность результатов, степень детальности может быть выше других.
Следует заметить в качестве вывода, что с увеличением детальности возрастает устойчивость модели, но с другой стороны, возрастают и затраты машинного времени на проведение модельного эксперимента.
На этом мы с вами закончим занятие сегодня. Спасибо за внимания. До свидания.